حاسبة دالة الخطأ

أدخل الحساب

قيمة x

نتائج

دالة الخطأ erf(x)

٠٫٨٤٢٧٠١

عديمة الأبعاد (من −1 إلى 1)

دالة الخطأ المكمّلة erfc(x)	٠٫١٥٧٢٩٩

ما هي دالة الخطأ؟

دالة الخطأ، التي تُكتب \(\operatorname{erf}(x)\)، هي دالة خاصة تظهر بكثرة في علم الاحتمالات والإحصاء ونظرية الانتشار وانتقال الحرارة. تُعرَّف بأنها ضعف تكامل دالة غاوس (المنحنى الجرسي) من 0 إلى x، مُطبَّعة بحيث تكون \(\operatorname{erf}(\infty) = 1\). وترتبط بها ارتباطًا وثيقًا دالة الخطأ المكمّلة \(\operatorname{erfc}(x) = 1 - \operatorname{erf}(x)\)، التي تقيس المساحة الواقعة في طرف التوزيع (الذيل).

دالة الخطأ تساوي المساحة تحت منحنى غاوس المُحجَّم من 0 إلى x.

كيفية استخدام الحاسبة

أدخِل أي عدد حقيقي x لتُعيد لك الحاسبة قيمتي \(\operatorname{erf}(x)\) و\(\operatorname{erfc}(x)\) معًا. القيم الموجبة والسالبة مدعومة على حد سواء، لأن erf دالة فردية: \(\operatorname{erf}(-x) = -\operatorname{erf}(x)\). والنتيجة عديمة الأبعاد وتقع دائمًا بين −1 و1.

شرح الصيغة

ليس لدالة الخطأ صيغة مغلقة بسيطة، لذا لا بدّ من تقييمها عدديًا.

$$\operatorname{erf}\!\left(x\right) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\,dt, \qquad \operatorname{erfc}\!\left(x\right) = 1 - \operatorname{erf}\!\left(x\right)$$

تعتمد هذه الأداة على التقريب الكلاسيكي ذي كثير الحدود النسبي رقم 7.1.26 من مرجع أبراموفيتز وستيغن. يستبدل المتغير \(\tau = 1/(1 + px)\) حيث \(p = 0.3275911\)، مع المعاملات \(a_1 = 0.254829592\) و\(a_2 = -0.284496736\) و\(a_3 = 1.421413741\) و\(a_4 = -1.453152027\) و\(a_5 = 1.061405429\). ثم تكون \(\operatorname{erf}(x) \approx 1 - (a_1\tau + a_2\tau^2 + a_3\tau^3 + a_4\tau^4 + a_5\tau^5)\cdot e^{-x^2}\). أقصى خطأ مطلق في هذا التقريب يبلغ نحو \(1.5 \times 10^{-7}\)، وهي دقة كافية لمعظم الأعمال الهندسية تقريبًا.

اعلان

‏erf(x) يتراوح من -1 إلى 1، بينما erfc(x) = 1 - erf(x) ينخفض من 2 إلى 0.

مثال محلول

عند \(x = 1\): نحصل على \(\tau = 1/(1 + 0.3275911) \approx 0.753139\). وبتقييم كثير الحدود وضربه في \(e^{-1}\) نجد أن \(\operatorname{erf}(1) \approx 0.842701\)، وهي قيمة مطابقة للقيمة الحقيقية 0.8427008. أما القيمة المكمّلة فهي \(\operatorname{erfc}(1) \approx 0.157299\).

الأسئلة الشائعة

ما هو مدى قيم erf(x)؟ تتراوح القيم بين −1 (عندما \(x \to -\infty\)) و+1 (عندما \(x \to +\infty\))، وتمر بالقيمة 0 عند \(x = 0\).

ما مدى دقة النتيجة؟ هذا التقريب دقيق حتى نحو 7 منازل عشرية (الخطأ < 1.5e-7).

فيمَ تُستخدم erfc؟ تُستخدم دالة الخطأ المكمّلة كثيرًا في احتمالات الذيل، ومعدلات خطأ البت في الاتصالات، وحلول معادلة الانتشار.