ما هي حاسبة دالة جاما؟
دالة جاما، التي تُكتب على هيئة \(\Gamma(a)\)، من أهم الدوال الخاصة في الرياضيات. فهي الامتداد التحليلي للمضروب (العاملي): فلأي عدد صحيح غير سالب \(n\) يكون \(\Gamma(n+1) = n!\). وعلى عكس المضروب، تُعرَّف دالة جاما عند كل عدد حقيقي (وعقدي) تقريبًا، بما في ذلك الكسور والأعداد السالبة. تبني هذه الحاسبة جدولًا لقيم \(\Gamma(a)\) عبر متتالية من الوسائط المتساوية التباعد، ثم ترسم المنحنى الناتج. وهي رياضيات عالمية تنطبق في كل مكان دون قواعد خاصة بأي دولة.
كيفية الاستخدام
أدخِل ثلاث قيم: القيمة الابتدائية لـ a (الوسيط الأول)، والخطوة (مقدار الزيادة الثابت المُضاف في كل صف)، وعدد الصفوف. يستخدم الصف \(k\) الوسيط \(a_k = \text{القيمة الابتدائية} + k \times \text{الخطوة}\). تحسب الأداة قيمة \(\Gamma\) عند كل وسيط، وتُدرج الأزواج في جدول، وتعرض أصغر القيم المنتهية وأكبرها. أما الأقطاب عند \(a = 0\)، -1، -2، ... فيُبلَّغ عنها بأنها غير معرَّفة.
شرح الصيغة
التكامل التعريفي هو $$\Gamma(a) = \int_{0}^{\infty} t^{\,a-1}\, e^{-t}\, dt$$ حين تكون \(\operatorname{Re}(a) > 0\). وعدديًا نستخدم تقريب لانكزوس، الذي يمنح دقة تبلغ نحو 15 رقمًا. وعند \(a \le 0.5\) تتولى صيغة الانعكاس $$\Gamma(a) = \frac{\pi}{\sin(\pi \cdot a) \times \Gamma(1-a)}$$ معالجة الأعداد السالبة والوسائط الصغيرة وتجنُّب التباعد. ومن القيم الخاصة المهمة: \(\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi} = 1.77245\)، و\(\Gamma(1) = 1\)، و\(\Gamma(n+1) = n!\).
مثال محلول
بأخذ القيمة الابتدائية = 0.5، والخطوة = 0.5، والعدد = 5، تكون الوسائط هي 0.5، و1.0، و1.5، و2.0، و2.5. والنتائج هي \(\Gamma(0.5) = 1.77245\) (\(= \sqrt{\pi}\))، و\(\Gamma(1.0) = 1.0\)، و\(\Gamma(1.5) = 0.88623\)، و\(\Gamma(2.0) = 1.0\)، و\(\Gamma(2.5) = 1.32934\). ينخفض المنحنى إلى أدنى قيمة له (نحو \(0.8856\) قرب \(a = 1.4616\)) في مجال القيم الموجبة، ثم يعاود الارتفاع.
الأسئلة الشائعة
لماذا تكون \(\Gamma(0)\) غير معرَّفة؟ الأعداد الصحيحة غير الموجبة (0، -1، -2، ...) هي أقطاب بسيطة تتباعد عندها دالة جاما نحو موجب أو سالب ما لا نهاية، ومن ثَمَّ لا توجد قيمة منتهية عندها.
هل يمكن أن تكون a سالبة؟ نعم. الأعداد السالبة غير الصحيحة صالحة؛ وتتناوب القيم في الإشارة وتكبر قيمتها المطلقة بين كل عددين صحيحين سالبين متتاليين، مثل \(\Gamma(-0.5) = -3.5449\).
ما مدى دقة النتيجة؟ يمنح تقريب لانكزوس نحو 15 رقمًا معنويًا، وهو ما يكفي لجميع الاستخدامات العملية والتعليمية تقريبًا.
