감마 함수 표·그래프 계산기 (Gamma Function)

결과

첫 인수에서의 감마 값

1.772454

over 5 rows (5 finite)

생성된 행 수	5
유한한 값	5
유한값 중 최솟값	0.886227
유한값 중 최댓값	1.772454

a	Gamma(a)
0.500000	1.772454
1.000000	1.000000
1.500000	0.886227
2.000000	1.000000
2.500000	1.329340

감마 함수 계산기란?

$\Gamma(a)$로 표기하는 감마 함수는 수학에서 가장 중요한 특수 함수 중 하나입니다. 감마 함수는 팩토리얼을 해석적으로 확장한 것으로, 음이 아닌 정수 $n$에 대해 $\Gamma(n+1) = n!$이 성립합니다. 팩토리얼과 달리 감마 함수는 분수와 음수를 포함한 거의 모든 실수(그리고 복소수)에서 정의됩니다. 이 계산기는 등간격으로 늘어선 인수들에 대해 $\Gamma(a)$ 값의 표를 만들고, 그 결과를 곡선 그래프로 그려 줍니다. 감마 함수는 국가별 규칙이 없는 보편적인 수학으로, 어디서나 동일하게 적용됩니다.

사용 방법

다음 세 가지 값을 입력하세요. a의 초깃값(첫 번째 인수), 증가폭(step)(각 행마다 더해지는 일정한 값), 그리고 행 개수입니다. $k$번째 행은 $$a_k = \text{초깃값} + k \times \text{증가폭}$$ 으로 인수를 계산합니다. 계산기는 각 인수에서 감마 함수 값을 구해 (인수, 함숫값) 쌍을 표로 정리하고, 유한한 값 중 최솟값과 최댓값을 함께 보여 줍니다. $a = 0, -1, -2, \dots$ 인 극점에서는 값이 정의되지 않음으로 표시됩니다.

공식 설명

감마 함수를 정의하는 적분은 $\operatorname{Re}(a) > 0$ 일 때 $$\Gamma(a) = \int_{0}^{\infty} t^{\,a-1}\, e^{-t}\, dt$$ 입니다. 수치 계산에서는 약 15자리 정확도를 내는 란초스 근사(Lanczos approximation)를 사용합니다. $a \le 0.5$ 인 경우에는 반사 공식(reflection formula) $$\Gamma(a) = \frac{\pi}{\sin(\pi \cdot a) \times \Gamma(1-a)}$$ 를 적용해 음수와 작은 인수를 처리하고 발산을 피합니다. 대표적인 특수값으로는 $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi} = 1.77245$, $\Gamma(1) = 1$, $\Gamma(n+1) = n!$ 이 있습니다.

음이 아닌 정수가 아닌 곳에 극점을 가진 감마 함수 그래프 — 감마 함수 곡선. 급격한 증가와 0 및 음의 정수에서의 수직 점근선(극점)을 보여준다.

계산 예시

초깃값 = 0.5, 증가폭 = 0.5, 개수 = 5 로 두면 인수는 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5 가 됩니다. 그 결과는 $\Gamma(0.5) = 1.77245$ ($= \sqrt{\pi}$), $\Gamma(1.0) = 1.0$, $\Gamma(1.5) = 0.88623$, $\Gamma(2.0) = 1.0$, $\Gamma(2.5) = 1.32934$ 입니다. 양수 구간에서 곡선은 $a = 1.4616$ 부근에서 최솟값(약 0.8856)까지 내려갔다가 다시 위로 올라갑니다.