변형 구면 베셀 함수 i_v(x), k_v(x) 및 도함수 계산기

계산 입력

차수 v (정수, 무차원)

x (인자, x > 0) x ≤ 0인 경우 실수값 결과가 복소수가 되거나 정의되지 않을 수 있습니다.

공식

Show calculation steps (2)

1. Upward recurrence to order v

   

   Applied for v = Order >= 1 to reach i_v and k_v; n runs from 1 up to v.

2. Derivatives

   

   First derivatives of the modified spherical Bessel functions at order v.

결과

Modified Spherical Bessel (first kind) i_v(x)

1.8134302039

무차원

Second kind kv(x)	0.1062920829
Derivative i'v(x)	-0.9743827436
Derivative k'v(x)	-0.1594381243

이 계산기의 기능

이 도구는 음이 아닌 정수 차수 v와 양의 실수 인자 x에 대해 변형 구면 베셀 함수 제1종 \(i_v(x)\), 제2종 \(k_v(x)\)와 함께 1차 도함수 \(i'_v(x)\), \(k'_v(x)\)를 계산합니다. 이들은 순수한 수학적 특수함수로, 지역이나 단위에 관한 어떠한 가정도 없이 어디서나 동일하게 적용됩니다.

배경 지식과 공식

이 함수들은 변형 구면 베셀 방정식 \(x^2 w'' + 2x w' - (x^2 + v(v+1))w = 0\)의 해입니다. 반정수 차수 이동을 통해 원통형 변형 베셀 함수와 다음과 같이 연결됩니다.

$$i_v(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\,I_{v+1/2}(x), \qquad k_v(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,K_{v+1/2}(x)$$

정수 v에 대해 +1/2 이동으로 차수가 반정수가 되므로, 이 함수들은 sinh, cosh, exp로 이루어진 초등함수 표현으로 환원됩니다. 초기값으로

$$i_0 = \frac{\sinh x}{x}, \quad i_1 = \frac{\cosh x}{x} - \frac{\sinh x}{x^{2}}$$$$k_0 = \frac{\pi}{2x}\,e^{-x}, \quad k_1 = \frac{\pi}{2x}\,e^{-x}\!\left(1 + \frac{1}{x}\right)$$

를 사용한 뒤, 원하는 차수까지 위로 점화시킵니다. 도함수는 \(f'_v = -f_{v+1} + \frac{v}{x}f_v\)로 구합니다.

x가 증가하면 제1종 함수 i_v(x)는 증가하고 k_v(x)는 감소합니다.

사용 방법

정수 차수 v(0, 1, 2, …)와 \(x > 0\)인 인자 x를 입력한 뒤 네 가지 결과값을 확인하세요. 여기서는 \(k_v(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,K_{v+1/2}(x)\) 규약을 사용하며, 이로 인해 \(k_0\)에 보이는 \(\pi/2\) 인자가 생깁니다. 일부 문헌에서는 이 인자를 생략하기도 합니다.

계산 예시 (v = 0, x = 2)

$$i_0(2) = \frac{\sinh(2)}{2} = \frac{3.6268604}{2} = 1.8134302$$$$i_1(2) = \frac{\cosh(2)}{2} - \frac{\sinh(2)}{4} = 1.8810978 - 0.9067151 = 0.9743827$$이므로 \(i'_0(2) = -i_1(2) = -0.9743827\).$$k_0(2) = \frac{\pi}{4}e^{-2} = 0.1062930, \qquad k_1(2) = k_0 \cdot 1.5 = 0.1594394$$이므로 \(k'_0(2) = -k_1(2) = -0.1594394\).

자주 묻는 질문

정수가 아닌 차수 v를 사용할 수 있나요? 이 실수값 코드는 함수가 초등함수가 되는 음이 아닌 정수 차수를 지원합니다. 정수가 아닌 차수는 완전한 I/K 베셀 함수 계산이 필요합니다.

왜 x는 양수여야 하나요? \(k_v(x)\)는 \(x \to 0\)일 때 발산하고, \(x < 0\)이면 결과가 복소수가 되므로 실수 버전에서는 \(x > 0\)가 필요합니다.

i_v와 k_v의 차이는 무엇인가요? \(i_v\)는 지수적으로 증가하며 원점에서 정칙(regular)입니다. 반면 \(k_v\)는 지수적으로 감소하며 원점에서 특이점을 가집니다.