Qué hace esta calculadora
Esta herramienta evalúa las funciones esféricas de Bessel modificadas de primera especie \(i_v(x)\) y de segunda especie \(k_v(x)\), junto con sus primeras derivadas \(i'_v(x)\) y \(k'_v(x)\), para un orden entero no negativo \(v\) y un argumento real positivo \(x\). Son funciones especiales puras de las matemáticas: se aplican de forma idéntica en cualquier parte, sin supuestos regionales ni de unidades.
Fundamento teórico y fórmula
Estas funciones resuelven la ecuación esférica de Bessel modificada \(x^2 w'' + 2x w' - (x^2 + v(v+1))w = 0\). Se relacionan con las funciones cilíndricas de Bessel modificadas mediante un desplazamiento de orden de medio entero: \(i_v(x) = \sqrt{\pi/2x}\cdot I_{v+1/2}(x)\) y \(k_v(x) = \sqrt{2/\pi x}\cdot K_{v+1/2}(x)\). Como el desplazamiento de \(+1/2\) convierte el orden en un semientero cuando \(v\) es entero, las funciones se reducen a expresiones elementales en sinh, cosh y exp. Partimos de los valores iniciales
$$i_0=\frac{\sinh x}{x}, \quad i_1=\frac{\cosh x}{x}-\frac{\sinh x}{x^2}, \quad k_0=\frac{\pi}{2x}e^{-x}, \quad k_1=\frac{\pi}{2x}e^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)$$y luego ascendemos hasta el orden solicitado. Las derivadas se obtienen con
$$f'_v = -f_{v+1} + \frac{v}{x}f_v$$
Cómo utilizarla
Introduce el orden entero \(v\) (0, 1, 2, …) y el argumento \(x\) con \(x > 0\), y luego consulta los cuatro resultados. Ten en cuenta que aquí seguimos la convención \(k_v(x)=\sqrt{2/\pi x}\,K_{v+1/2}(x)\), que introduce el factor \(\pi/2\) que aparece en \(k_0\); algunas referencias lo omiten.
Ejemplo resuelto (v = 0, x = 2)
\(i_0(2)=\sinh(2)/2=3{,}6268604/2=1{,}8134302\). \(i_1(2)=\cosh(2)/2-\sinh(2)/4=1{,}8810978-0{,}9067151=0{,}9743827\), de modo que \(i'_0(2)=-i_1(2)=-0{,}9743827\). \(k_0(2)=(\pi/4)e^{-2}=0{,}1062930\), \(k_1(2)=k_0\cdot 1{,}5=0{,}1594394\), por lo que \(k'_0(2)=-k_1(2)=-0{,}1594394\).
Preguntas frecuentes
¿Puedo usar un orden \(v\) no entero? Esta implementación de valores reales admite órdenes enteros no negativos, donde las funciones son elementales. Los órdenes no enteros requieren la evaluación completa de las funciones de Bessel I/K.
¿Por qué \(x\) debe ser positivo? \(k_v(x)\) diverge cuando \(x\rightarrow 0\) y los resultados se vuelven complejos para \(x<0\), así que la versión real exige \(x > 0\).
¿Cuál es la diferencia entre \(i_v\) y \(k_v\)? \(i_v\) crece exponencialmente y es regular en el origen; \(k_v\) decae exponencialmente y es singular en el origen.
