Qué hace esta calculadora
Esta herramienta evalúa las funciones de Bessel modificadas de primera especie, \(I_v(x)\), y de segunda especie, \(K_v(x)\), junto con sus primeras derivadas \(I'_v(x)\) y \(K'_v(x)\). Estas funciones son las dos soluciones independientes de la ecuación de Bessel modificada \(x^2 y'' + x y' - (x^2 + v^2)y = 0\) y aparecen por todas partes en física e ingeniería: conducción de calor en cilindros, difusión, teoría de líneas de transmisión y guías de onda, y estadística. Se trata de matemáticas puras, así que el resultado es idéntico en cualquier lugar: no se aplica ninguna regla regional.
Cómo usarla
Introduce el orden v (cualquier número real) y el argumento x. \(I_v(x)\) se calcula para todo x real cuando v es entero, y para x ≥ 0 en los demás casos. \(K_v(x)\) exige x > 0, ya que diverge cuando x → 0+; para x ≤ 0 se indica como indefinida (NaN).
La fórmula explicada
\(I_v(x)\) se obtiene sumando su serie de potencias, empleando una aproximación de Lanczos para la función Gamma. \(K_v(x)\) se calcula integrando numéricamente $$K_v(x) = \int_0^{\infty} e^{-x\cdot\cosh t}\cdot\cosh(vt)\, dt,$$ un método estable tanto para órdenes enteros como no enteros. Las derivadas usan las recurrencias simétricas \(I'_v(x) = \tfrac{1}{2}(I_{v-1}(x) + I_{v+1}(x))\) y \(K'_v(x) = -\tfrac{1}{2}(K_{v-1}(x) + K_{v+1}(x))\), que evitan cualquier división entre x.
Ejemplo resuelto (v = 0, x = 1)
La serie da $$I_0(1) = 1 + 0{,}25 + 0{,}015625 + \ldots \approx 1{,}26606588.$$ La integral da \(K_0(1) \approx 0{,}42102444\). Como \(I_{-1} = I_1\), la forma simétrica produce \(I'_0(1) = I_1(1) \approx 0{,}56515910\), y \(K'_0(1) = -K_1(1) \approx -0{,}60190723\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué K_v(x) aparece como indefinida? \(K_v(x)\) solo está definida para x > 0; en cero y por debajo diverge.
¿Puedo usar un orden fraccionario? Sí. Ambas funciones admiten cualquier orden real, incluidos valores no enteros y negativos.
¿Qué precisión tiene? Los resultados utilizan doble precisión (unos 12–15 dígitos significativos) y coinciden con las tablas de referencia estándar para valores moderados de x.
