Qué hace esta calculadora
Esta herramienta evalúa las dos soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial de Bessel, \(x^2 y'' + x y' + (x^2 - v^2)y = 0\): la función de Bessel de primera especie \(J_{v}(x)\), la función de segunda especie \(Y_{v}(x)\) (también conocida como función de Neumann) y sus primeras derivadas \(J'_{v}(x)\) e \(Y'_{v}(x)\). Admite cualquier orden real \(v\) (entero, fraccionario o negativo) y un argumento real \(x\). Las funciones de Bessel aparecen por toda la física y la ingeniería: membranas circulares que vibran, conducción del calor en cilindros, ondas electromagnéticas en guías de onda y procesamiento de señales.
Cómo usarla
Introduce el Orden v (por ejemplo 0, 1 o 0,5), el Argumento x y elige cuántos dígitos quieres ver en pantalla. Pulsa calcular para obtener los cuatro valores. Para órdenes no enteros utiliza \(x \geq 0\), ya que \((x/2)^{v}\) se vuelve complejo cuando x es negativo. En \(x = 0\) las funciones de segunda especie son singulares y se marcan como indefinidas.
La fórmula explicada
\(J_{v}(x)\) se calcula a partir de su serie de potencias mediante la función gamma, sumando término a término con una recurrencia estable hasta que los términos caen por debajo de la tolerancia. La serie es:
$$J_{\nu}(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k!\,\Gamma(\nu+k+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}, \qquad \nu = \text{Order }\nu,\; x = \text{Argument }x$$Para \(Y_{v}(x)\) con orden no entero se emplea
$$Y_{\nu}(x) = \frac{J_{\nu}(x)\cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}, \qquad \nu = \text{Order }\nu,\; x = \text{Argument }x$$para órdenes enteros la calculadora perturba ligeramente \(v\) (en \(10^{-7}\)) para evitar la división por \(\sin(v\pi)=0\). Las derivadas usan la recurrencia
$$C_{\nu}^{\prime}(x) = \tfrac{1}{2}\bigl(C_{\nu-1}(x) - C_{\nu+1}(x)\bigr), \quad C \in \{J,\,Y\}, \quad \nu = \text{Order }\nu,\; x = \text{Argument }x$$con el caso particular \(C'_{0}(x) = -C_{1}(x)\).
Ejemplo resuelto
Para \(v = 0\) y \(x = 1\): la serie de \(J_{0}(1)\) da
$$1 - 0{,}25 + 0{,}015625 - 0{,}000434 + \dots \approx 0{,}7651977$$Los valores conocidos son \(Y_{0}(1) \approx 0{,}0882570\), \(J'_{0}(1) = -J_{1}(1) \approx -0{,}4400506\) e \(Y'_{0}(1) = -Y_{1}(1) \approx 0{,}7812128\).
Términos y Variables Clave
- Orden \(\nu\)
- El parámetro \(\nu\) en \(J_\nu(x)\) e \(Y_\nu(x)\) que establece la forma de la ecuación diferencial \(x^2 y'' + x y' + (x^2-\nu^2)y = 0\). Puede ser cualquier número real; los órdenes enteros (\(\nu = 0,1,2,\dots\)) surgen de la separación angular en coordenadas cilíndricas, mientras que los órdenes semi-enteros dan funciones de Bessel esféricas expresables en funciones elementales.
- Argumento \(x\)
- La variable independiente en la que se evalúa la función, típicamente una distancia radial escalada \(x = kr\). Para \(x\) real, \(J_\nu\) tiene valor real para \(\nu\) entero, e \(Y_\nu\) se define solo para \(x>0\).
- Función de Bessel de primera especie \(J_\nu(x)\)
- La solución que es finita en el origen (para \(\nu\ge 0\)), definida por la serie \(J_\nu(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(\nu+k+1)}\left(\tfrac{x}{2}\right)^{2k+\nu}\). Oscila con amplitud lentamente decreciente a medida que \(x\) aumenta.
- Función de Bessel de segunda especie \(Y_\nu(x)\)
- También llamada función de Neumann (o Weber), esta es la segunda solución linealmente independiente. Se define mediante \(Y_\nu(x)=\dfrac{J_\nu(x)\cos(\nu\pi)-J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}\) (con una forma límite para \(\nu\) entero) y diverge logarítmica o como una potencia de \(x\) en el origen.
- Derivadas \(J'_\nu(x)\), \(Y'_\nu(x)\)
- Las derivadas con respecto a \(x\). Satisfacen la recurrencia \(C'_\nu(x)=\tfrac{1}{2}\bigl(C_{\nu-1}(x)-C_{\nu+1}(x)\bigr)\) e \(C'_\nu(x)=C_{\nu-1}(x)-\tfrac{\nu}{x}C_\nu(x)\), donde \(C\) representa ya sea \(J\) o \(Y\). En particular \(J'_0(x)=-J_1(x)\).
- Función gamma \(\Gamma(z)\)
- La extensión continua del factorial, con \(\Gamma(n+1)=n!\) para enteros no negativos, que aparece en el denominador de la serie \(J_\nu\) para permitir órdenes no enteros. Consulte la Calculadora de Funciones Gamma para valores individuales.
- Ceros (raíces)
- Los valores \(j_{\nu,m}\) e \(y_{\nu,m}\) donde \(J_\nu(x)=0\) o \(Y_\nu(x)=0\). Estos sirven como valores propios en problemas de valores en la frontera; por ejemplo, las frecuencias de una membrana circular con borde fijo son proporcionales a los ceros \(j_{\nu,m}\).
Preguntas frecuentes
¿El orden puede ser negativo o fraccionario? Sí. Tanto la serie como la función gamma admiten cualquier valor real de \(v\). Solo debes mantener \(x \geq 0\) para órdenes no enteros.
¿Por qué Y no está definida en x = 0? Todas las funciones de Bessel de segunda especie divergen hacia menos infinito cuando \(x \to 0\), de modo que ahí no existe ningún valor finito.
¿Cuál es su precisión? Los cálculos se realizan en doble precisión (unos 15 dígitos significativos). La opción de dígitos en pantalla solo controla el formato, no las matemáticas subyacentes.
