이 계산기의 기능

이 도구는 베셀 미분방정식 $x^2y'' + xy' + (x^2 - v^2)y = 0$의 선형 독립인 두 해, 즉 제1종 베셀 함수 $J_v(x)$, 제2종 베셀 함수 $Y_v(x)$(노이만 함수라고도 함), 그리고 이들의 1차 도함수 $J'_v(x)$와 $Y'_v(x)$를 계산합니다. 차수 $v$는 정수, 분수, 음수 등 어떤 실수든 입력할 수 있으며 인수 $x$도 실수로 받습니다. 베셀 함수는 물리학과 공학 전반에 등장합니다. 원형 막의 진동, 원통에서의 열전도, 도파관 내 전자기파, 신호 처리 등이 대표적인 예입니다.

x에 따른 제1종 베셀 함수 J0, J1, J2의 진동하며 감소하는 곡선 — 제1종 베셀 함수 Jᵥ(x)는 x가 커질수록 진동하며 천천히 감소한다.

사용 방법

차수 $v$(예: 0, 1, 0.5), 인수 $x$를 입력하고 표시할 자릿수를 선택하세요. 계산 버튼을 누르면 네 가지 값이 모두 나타납니다. 차수가 정수가 아닌 경우에는 $x \geq 0$으로 입력하세요. $x$가 음수이면 $(x/2)^v$가 복소수가 되기 때문입니다. $x = 0$에서는 제2종 함수가 특이점을 가지므로 정의되지 않음으로 표시됩니다.

공식 설명

$J_v(x)$는 감마 함수를 이용한 멱급수로 계산하며, 안정적인 점화식을 사용해 각 항이 허용 오차 이하로 작아질 때까지 항별로 합산합니다.

$$J_{\nu}(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k!\,\Gamma(\nu+k+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}, \qquad \nu = \text{Order }\nu,\; x = \text{Argument }x$$

정수가 아닌 차수의 $Y_v(x)$는 다음 공식을 사용합니다.

$$Y_{\nu}(x) = \frac{J_{\nu}(x)\cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}, \qquad \nu = \text{Order }\nu,\; x = \text{Argument }x$$

정수 차수일 때는 $\sin(v\pi)=0$으로 인한 0으로 나누기를 피하기 위해 $v$를 아주 약간($10^{-7}$만큼) 미세하게 변형합니다. 도함수는 점화식을 사용하며, 특수한 경우로 $C'_0(x) = -C_1(x)$를 적용합니다.

$$C_{\nu}^{\prime}(x) = \tfrac{1}{2}\bigl(C_{\nu-1}(x) - C_{\nu+1}(x)\bigr), \quad C \in \{J,\,Y\}, \quad \nu = \text{Order }\nu,\; x = \text{Argument }x$$

0 근처에서 음의 무한대로 발산하는 제2종 베셀 함수 Y0, Y1, Y2의 곡선 — 제2종 함수 Yᵥ(x)는 x가 0에 가까워질수록 음의 무한대로 급락한다.

계산 예시

$v = 0$, $x = 1$인 경우: $J_0(1)$의 급수는 다음과 같습니다.

$$J_0(1) = 1 - 0.25 + 0.015625 - 0.000434 + \ldots \approx 0.7651977$$

알려진 값들은 $Y_0(1) \approx 0.0882570$, $J'_0(1) = -J_1(1) \approx -0.4400506$, $Y'_0(1) = -Y_1(1) \approx 0.7812128$입니다.

주요 용어 및 변수

차수 $\nu$: 미분방정식 $x^2 y'' + x y' + (x^2-\nu^2)y = 0$의 형태를 결정하는 $J_\nu(x)$ 및 $Y_\nu(x)$의 매개변수 $\nu$입니다. 임의의 실수일 수 있으며, 정수 차수 ($\nu = 0,1,2,\dots$)는 원통 좌표에서의 각도 분리로부터 나타나고, 반정수 차수는 초등함수로 표현 가능한 구면 베셀 함수를 제공합니다.
독립변수 $x$: 함수가 평가되는 독립변수로, 일반적으로 스케일된 반지름 거리 $x = kr$입니다. 실수 $x$에 대해, $J_\nu$는 정수 $\nu$일 때 실수값이고, $Y_\nu$는 $x>0$에서만 정의됩니다.
제1종 베셀 함수 $J_\nu(x)$: 원점에서 유한한 해 ($\nu\ge 0$의 경우)로, 급수 $J_\nu(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(\nu+k+1)}\left(\tfrac{x}{2}\right)^{2k+\nu}$로 정의됩니다. $x$가 증가함에 따라 진폭이 천천히 감소하며 진동합니다.
제2종 베셀 함수 $Y_\nu(x)$: 노이만(또는 베버) 함수라고도 불리며, 이는 두 번째 선형독립 해입니다. $Y_\nu(x)=\dfrac{J_\nu(x)\cos(\nu\pi)-J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}$를 통해 정의되고 (정수 $\nu$의 경우 극한형), 원점에서 로그적으로 또는 $x$의 거듭제곱으로 발산합니다.
도함수 $J'_\nu(x)$, $Y'_\nu(x)$: $x$에 대한 도함수입니다. 이들은 점화식 $C'_\nu(x)=\tfrac{1}{2}\bigl(C_{\nu-1}(x)-C_{\nu+1}(x)\bigr)$ 및 $C'_\nu(x)=C_{\nu-1}(x)-\tfrac{\nu}{x}C_\nu(x)$를 만족합니다. 여기서 $C$는 $J$ 또는 $Y$를 나타냅니다. 특히 $J'_0(x)=-J_1(x)$입니다.
감마 함수 $\Gamma(z)$: 계승의 연속 확장으로, 음이 아닌 정수에 대해 $\Gamma(n+1)=n!$이며, 비정수 차수를 허용하기 위해 $J_\nu$ 급수의 분모에 나타납니다. 감마 함수 계산기에서 개별 값을 확인하세요.
영점(근): $J_\nu(x)=0$ 또는 $Y_\nu(x)=0$인 값 $j_{\nu,m}$ 및 $y_{\nu,m}$입니다. 이들은 경계값 문제에서 고유값으로 작용하며, 예를 들어 고정된 가장자리 원형 막의 진동 주파수는 영점 $j_{\nu,m}$에 비례합니다.

자주 묻는 질문

차수가 음수나 분수여도 되나요? 네. 급수와 감마 함수가 모든 실수 $v$를 처리할 수 있습니다. 다만 정수가 아닌 $v$에서는 $x \geq 0$을 유지하세요.

$x = 0$에서 Y가 정의되지 않는 이유는? 모든 제2종 베셀 함수는 $x \to 0$일 때 음의 무한대로 발산하므로 유한한 값이 존재하지 않습니다.

정확도는 어느 정도인가요? 계산은 배정밀도(약 15자리의 유효 숫자)로 수행됩니다. 표시 자릿수 옵션은 표시 형식만 조절할 뿐, 내부 계산에는 영향을 주지 않습니다.

Y_v(x) (제2종)	0.0882568464
J'_v(x) (제1종 도함수)	-0.4400505857
Y'_v(x) (제2종 도함수)	0.7812128809

베셀 함수 Jv(x), Yv(x)와 도함수 계산기

계산 입력

공식

Bessel Function of the Second Kind

Derivatives of Jv and Yv

결과