폴리감마 함수란?

차수 n의 폴리감마 함수 $\psi^{(n)}(a)$는 감마 함수의 자연로그를 (n+1)번 미분한 값입니다. 여기서 사용하는 인덱싱 방식에서는 $n = -1$이면 로그감마 함수 $\ln\Gamma(a)$ 자체를, $n = 0$이면 디감마 함수 $\psi(a)$를, $n = 1$이면 트리감마 함수를, $n = 2$이면 테트라감마 함수를 반환하며 이런 식으로 이어집니다. 이러한 특수 함수들은 확률, 통계(감마 분포와 베타 분포의 최대우도추정), 정수론, 점근 해석 전반에 걸쳐 등장합니다. 순수 수학에 해당하므로 어디에서나 동일하게 적용됩니다.

로그감마와 그 연속 도함수인 폴리감마 함수를 보여주는 곡선 — 폴리감마 함수는 로그감마 함수의 연속적인 도함수로 나타납니다.

계산기 사용 방법

드롭다운에서 미분 차수 n(-1, 0, 1, 2, 3, 4 중 하나)을 선택하고 인수 a를 실수로 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 $\psi^{(n)}(a)$를 약 12자리 유효숫자까지 구할 수 있습니다. 이 계산 방식은 $a > 0$에서 완전히 유효하며, a가 0 이하인 경우에는 반사 공식이 필요합니다. 또한 0 이하의 정수(감마 함수의 극점)는 정의되지 않음으로 표시됩니다.

공식 설명

$n = -1$일 때는 $\ln\Gamma$를 위한 란초스(Lanczos) 근사를 사용해 값을 계산합니다. $$\psi^{(-1)}(a) = \ln\Gamma\!\left(a\right)$$ $n = 0$일 때 디감마는 점화식 $\psi(x) = \psi(x+1) - \frac{1}{x}$로 인수를 6보다 크게 만든 뒤, $$\psi^{(0)}(a) = \psi\!\left(a\right) = \frac{d}{da}\ln\Gamma\!\left(a\right) = \frac{\Gamma^{\prime}\!\left(a\right)}{\Gamma\!\left(a\right)}$$ 점근 급수 $\psi(x) \sim \ln x - \frac{1}{2x} - \frac{1}{12 x^2} + \cdots$ 로 구합니다. $n \geq 1$일 때는 점화식 $\psi_n(x) = \psi_n(x+1) + (-1)^{n+1} \frac{n!}{x^{n+1}}$로 인수를 10 이상으로 이동시킨 다음, 베르누이 수 기반의 점근 급수로 계산을 마무리합니다. $$\psi^{(n)}(a) = \frac{d^{n+1}}{da^{n+1}} \ln\Gamma\!\left(a\right), \quad n = \text{order}$$

로그감마를 연속적으로 미분해 폴리감마 차수를 만드는 도식 — 각 폴리감마 차수 n은 ln Γ(a)를 n+1번 더 미분하여 얻어집니다.

계산 예제

$n = 1$, $a = 5$(5에서의 트리감마)인 경우를 살펴봅시다. 항등식 $\psi_1(m) = \frac{\pi^2}{6} - \sum_{k=1}^{m-1} \frac{1}{k^2}$를 사용하면 $$1.6449340668 - \left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16}\right) = 1.6449340668 - 1.4236111111 = 0.2213229557$$ 이 됩니다. 계산기는 약 $0.221322955737$을 반환합니다.

자주 묻는 질문

왜 a = 0이거나 음의 정수면 정의되지 않나요? 감마 함수는 0, -1, -2, ...에서 극점을 가지므로 $\ln\Gamma$와 모든 폴리감마 함수가 그 지점에서 발산합니다.

디감마와 트리감마의 차이는 무엇인가요? 디감마($n = 0$)는 $\ln\Gamma$의 1차 도함수이고, 트리감마($n = 1$)는 2차 도함수로 디감마를 한 번 더 미분한 것과 같습니다.

결과는 얼마나 정확한가요? 이동-점근(shift-and-asymptotic) 방법을 배정밀도(double-precision) 연산으로 적용하면 $a > 0$에서 대략 12~15자리의 유효숫자를 정확하게 얻을 수 있습니다.

폴리감마 함수 계산기

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