Что такое полигамма-функция?
Полигамма-функция порядка n, обозначаемая \(\Psi_n(a)\), — это (n+1)-я производная натурального логарифма гамма-функции. В принятой здесь нумерации значение \(n = -1\) даёт саму лог-гамма-функцию \(\ln\Gamma(a)\), \(n = 0\) — дигамма-функцию \(\Psi(a)\), \(n = 1\) — тригамма-функцию, \(n = 2\) — тетрагамма-функцию и так далее. Эти специальные функции встречаются повсюду: в теории вероятностей, математической статистике (метод максимального правдоподобия для гамма- и бета-распределений), теории чисел и асимптотическом анализе. Это чистая математика, и она работает одинаково в любой точке мира.
Как пользоваться калькулятором
Выберите порядок производной n из выпадающего списка (−1, 0, 1, 2, 3 или 4) и введите аргумент a как вещественное число. Нажмите «Рассчитать» — и вы получите \(\Psi_n(a)\) с точностью примерно до 12 значащих цифр. Алгоритм полностью корректен для \(a > 0\); при \(a \le 0\) функции требуют формул отражения, а для неположительных целых чисел (полюсов гамма-функции) калькулятор помечает результат как неопределённый.
Разбор формулы
При \(n = -1\) значение вычисляется по приближению Ланцоша для \(\ln\Gamma\). При \(n = 0\) дигамма находится с помощью рекуррентного соотношения \(\Psi(x) = \Psi(x+1) - \frac{1}{x}\), которое поднимает аргумент выше 6, после чего применяется асимптотический ряд $$\Psi(x) \sim \ln x - \frac{1}{2x} - \frac{1}{12 x^2} + \dots$$ При \(n \ge 1\) рекуррентность $$\Psi_n(x) = \Psi_n(x+1) + (-1)^{n+1} \frac{n!}{x^{n+1}}$$ сдвигает аргумент за пределы 10, а затем расчёт завершается асимптотическим рядом с числами Бернулли.
Пример расчёта
Возьмём \(n = 1\), \(a = 5\) (тригамма-функция в точке 5). Используя тождество $$\Psi_1(m) = \frac{\pi^2}{6} - \sum_{k=1}^{m-1} \frac{1}{k^2},$$ получаем $$1{,}6449340668 - \left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16}\right) = 1{,}6449340668 - 1{,}4236111111 = 0{,}2213229557.$$ Калькулятор возвращает приблизительно \(0{,}221322955737\).
Частые вопросы
Почему a = 0 или отрицательное целое число даёт неопределённость? У гамма-функции есть полюсы в точках 0, −1, −2, …, поэтому \(\ln\Gamma\) и любая полигамма-функция в них расходятся.
Чем дигамма отличается от тригаммы? Дигамма (\(n = 0\)) — это первая производная \(\ln\Gamma\); тригамма (\(n = 1\)) — вторая производная, то есть производная дигаммы.
Насколько точен результат? Арифметика двойной точности в сочетании с методом сдвига и асимптотическим разложением даёт примерно 12–15 верных значащих цифр для \(a > 0\).
