Poligamma Fonksiyonu Hesaplama Aracı

Hesaplamaya Girin

Türev mertebesi n -1 0 1 2 3 4 n = -1, 0, 1, 2, 3, 4

a argument (real number, valid for a > 0)

Sonuç

Polygamma value Ψ_n(a)

0,221322955737

at n = 1, a = 5.0

Türev mertebesi n	1
Değişken a	5.0
Fonksiyon	Trigamma Ψ1(a)

Poligamma fonksiyonu nedir?

n mertebeden poligamma fonksiyonu (\(\psi^{(n)}(a)\) ile gösterilir), gamma fonksiyonunun doğal logaritmasının (n+1). türevidir. Burada kullanılan indeksleme ile \(n = -1\) doğrudan log-gamma fonksiyonunu yani \(\ln\Gamma(a)\)'yı verir; \(n = 0\) digamma fonksiyonu \(\psi(a)\)'yı, \(n = 1\) trigamma fonksiyonunu, \(n = 2\) tetragamma fonksiyonunu verir ve bu böyle devam eder. Bu özel fonksiyonlar olasılık teorisinde, istatistikte (gamma ve beta dağılımları için en çok olabilirlik yöntemi), sayılar teorisinde ve asimptotik analizde sıkça karşımıza çıkar. Saf matematiktir ve dünyanın her yerinde aynı şekilde geçerlidir.

Poligama fonksiyonları, log-gama fonksiyonunun ardışık türevleri olarak ortaya çıkar.

Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?

Açılır menüden türev mertebesi n'yi seçin (-1, 0, 1, 2, 3 veya 4) ve a değişkenini reel bir sayı olarak girin. Hesapla düğmesine bastığınızda \(\psi^{(n)}(a)\) değeri yaklaşık 12 anlamlı basamak hassasiyetle gösterilir. Hesaplama \(a > 0\) için tamamen geçerlidir; a değeri 0'a eşit veya daha küçük olduğunda fonksiyonlar yansıma (reflection) gerektirir ve araç, pozitif olmayan tam sayıları (gamma fonksiyonunun kutupları) tanımsız olarak işaretler.

Formülün açıklaması

n = -1 için değer, \(\ln\Gamma\)'ya yönelik Lanczos yaklaşımı ile hesaplanır. n = 0 için digamma, önce değişkeni 6'nın üzerine taşıyan \(\psi(x) = \psi(x+1) - \frac{1}{x}\) özyineleme bağıntısıyla, ardından \(\psi(x) \sim \ln x - \frac{1}{2x} - \frac{1}{12 x^2} + \dots\) asimptotik serisiyle bulunur. \(n \geq 1\) için \(\psi^{(n)}(x) = \psi^{(n)}(x+1) + \frac{(-1)^{n+1} n!}{x^{n+1}}\) özyinelemesi değişkeni 10'un ötesine kaydırır, sonra Bernoulli sayılarına dayalı bir asimptotik seri hesaplamayı tamamlar.

Her poligama mertebesi n, ln Γ(a) ifadesinin n+1 kez daha türevi alınarak elde edilir.

Çözümlü örnek

n = 1, a = 5 alalım (yani 5 noktasındaki trigamma). \(\psi^{(1)}(m) = \frac{\pi^2}{6} - \sum_{k=1}^{m-1} \frac{1}{k^2}\) özdeşliğini kullanarak şunu elde ederiz: $$1.6449340668 - \left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16}\right) = 1.6449340668 - 1.4236111111 = 0.2213229557.$$ Araç yaklaşık olarak \(0.221322955737\) değerini döndürür.

Sıkça Sorulan Sorular

a = 0 veya negatif bir tam sayı neden tanımsızdır? Gamma fonksiyonunun \(0, -1, -2, \dots\) noktalarında kutupları vardır; bu nedenle \(\ln\Gamma\) ve tüm poligamma fonksiyonları bu noktalarda ıraksar.

Digamma ile trigamma arasındaki fark nedir? Digamma (n = 0), \(\ln\Gamma\)'nın birinci türevidir; trigamma (n = 1) ise ikinci türevidir, yani digamma'nın türevine eşittir.

Sonuç ne kadar doğrudur? Çift duyarlıklı (double-precision) aritmetik ile kaydırma-ve-asimptotik yöntemi, \(a > 0\) için yaklaşık 12-15 doğru anlamlı basamak sağlar.