¿Qué es la función poligamma?
La función poligamma de orden n, que se escribe \(\psi_n(a)\), es la derivada de orden (n+1) del logaritmo natural de la función gamma. Con la indexación que empleamos aquí, \(n = -1\) devuelve la propia función log-gamma, \(\ln\Gamma(a)\); \(n = 0\) corresponde a la función digamma, \(\psi(a)\); \(n = 1\) a la función trigamma; \(n = 2\) a la tetragamma, y así sucesivamente. Estas funciones especiales aparecen por todas partes en la teoría de la probabilidad, la estadística (estimación por máxima verosimilitud en las distribuciones gamma y beta), la teoría de números y el análisis asintótico. Se trata de matemática pura y se aplica de forma idéntica en cualquier lugar.
Cómo usar esta calculadora
Elige el orden de derivada n en el desplegable (-1, 0, 1, 2, 3 o 4) y escribe el argumento a como un número real. Pulsa calcular para obtener \(\psi_n(a)\) con unas 12 cifras significativas. El cálculo es plenamente válido para \(a > 0\); cuando a es menor o igual que 0, las funciones requieren reflexión, y la calculadora marca como indefinidos los enteros no positivos (los polos de la función gamma).
La fórmula explicada
$$\psi^{(n)}(a) = \frac{d^{n+1}}{da^{n+1}} \ln\Gamma\!\left(a\right), \quad n = \text{orden}$$ Para \(n = -1\), el valor se calcula con la aproximación de Lanczos para \(\ln\Gamma\). $$\psi^{(-1)}(a) = \ln\Gamma\!\left(a\right)$$ Para \(n = 0\), la digamma se obtiene mediante la recurrencia \(\psi(x) = \psi(x+1) - 1/x\), que desplaza el argumento por encima de 6, seguida de la serie asintótica \(\psi(x) \sim \ln x - \frac{1}{2x} - \frac{1}{12 x^2} + \dots\). $$\psi^{(0)}(a) = \psi\!\left(a\right) = \frac{d}{da}\ln\Gamma\!\left(a\right) = \frac{\Gamma^{\prime}\!\left(a\right)}{\Gamma\!\left(a\right)}$$ Para \(n \geq 1\), la recurrencia \(\psi_n(x) = \psi_n(x+1) + (-1)^{n+1} n!/x^{n+1}\) lleva el argumento más allá de 10, y luego una serie asintótica basada en los números de Bernoulli completa la evaluación.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(n = 1\), \(a = 5\) (la trigamma en 5). Usando la identidad \(\psi_1(m) = \frac{\pi^2}{6} - \sum_{k=1}^{m-1} \frac{1}{k^2}\), obtenemos $$1{,}6449340668 - \left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16}\right) = 1{,}6449340668 - 1{,}4236111111 = 0{,}2213229557.$$ La calculadora devuelve aproximadamente \(0{,}221322955737\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué a = 0 o un entero negativo no está definido? La función gamma tiene polos en \(0, -1, -2, \dots\), de modo que tanto \(\ln\Gamma\) como todas las poligamma divergen en esos puntos.
¿Cuál es la diferencia entre digamma y trigamma? La digamma (\(n = 0\)) es la primera derivada de \(\ln\Gamma\); la trigamma (\(n = 1\)) es la segunda derivada, igual a la derivada de la digamma.
¿Qué precisión tiene el resultado? Con aritmética de doble precisión y el método de desplazamiento más serie asintótica se obtienen aproximadamente entre 12 y 15 cifras significativas correctas para \(a > 0\).
