ما هي دالة بوليغاما؟
دالة بوليغاما من الرتبة n، والتي تُكتب \(\psi_n(a)\)، هي المشتقة من الرتبة (n+1) للوغاريتم الطبيعي لدالة غاما. وفق نظام الترقيم المعتمد هنا، تُعيد القيمة n = -1 دالة لوغاريتم غاما \(\ln\Gamma(a)\) نفسها، وتُعيد n = 0 دالة ديغاما \(\psi(a)\)، فيما تُعيد n = 1 دالة تريغاما، وn = 2 دالة تتراغاما، وهكذا. تظهر هذه الدوال الخاصة في كل مكان تقريبًا داخل الاحتمالات والإحصاء (مثل تقدير الإمكان الأعظم لتوزيعَي غاما وبيتا) ونظرية الأعداد والتحليل المقارب. وهي رياضيات بحتة تنطبق بالطريقة نفسها في أي مكان.
كيفية استخدام الحاسبة
اختر رتبة الاشتقاق n من القائمة المنسدلة (-1 أو 0 أو 1 أو 2 أو 3 أو 4)، ثم أدخل الوسيط a كعدد حقيقي. اضغط على «احسب» لتحصل على قيمة \(\psi_n(a)\) بدقة نحو 12 رقمًا معنويًا. الحساب صالح بالكامل عند a > 0؛ أما إذا كانت a أقل من أو تساوي 0 فإن الدوال تتطلب صيغة الانعكاس، وتُشير الحاسبة إلى الأعداد الصحيحة غير الموجبة (أقطاب دالة غاما) على أنها غير مُعرَّفة.
شرح الصيغة
عند n = -1 تُحسب القيمة باستخدام تقريب لانكزوس (Lanczos) لـ \(\ln\Gamma\). وعند n = 0 تُوجد دالة ديغاما عبر العلاقة التكرارية \(\psi(x) = \psi(x+1) - \frac{1}{x}\) لرفع الوسيط فوق 6، ثم تُكمَل بالمتسلسلة المقاربة \(\psi(x) \sim \ln x - \frac{1}{2x} - \frac{1}{12 x^2} + \ldots\). أما عند n ≥ 1 فإن العلاقة التكرارية \(\psi_n(x) = \psi_n(x+1) + (-1)^{n+1} \cdot \frac{n!}{x^{n+1}}\) تزيح الوسيط إلى ما بعد 10، ثم تُنهي متسلسلة مقاربة قائمة على أعداد برنولي عملية الحساب.
مثال محلول
لِنأخذ n = 1 وَ a = 5 (أي تريغاما عند 5). باستخدام المتطابقة \(\psi_1(m) = \frac{\pi^2}{6} - \sum_{k=1}^{m-1} \frac{1}{k^2}\)، نحصل على:
$$1.6449340668 - \left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16}\right) = 1.6449340668 - 1.4236111111 = 0.2213229557$$وتُعيد الحاسبة قيمة تقارب 0.221322955737.
الأسئلة الشائعة
لماذا تكون القيمة غير مُعرَّفة عند a = 0 أو عند عدد صحيح سالب؟ لأن دالة غاما لها أقطاب عند 0، -1، -2، …، ومن ثَمّ يتباعد كلٌّ من \(\ln\Gamma\) وجميع دوال بوليغاما عند هذه النقاط.
ما الفرق بين ديغاما وتريغاما؟ ديغاما (n = 0) هي المشتقة الأولى لـ \(\ln\Gamma\)، بينما تريغاما (n = 1) هي المشتقة الثانية لها، وهي تساوي مشتقة دالة ديغاما.
ما مدى دقة النتيجة؟ يمنح الحساب بالدقة المضاعفة مع طريقة الإزاحة والتقريب المقارب نحو 12 إلى 15 رقمًا معنويًا صحيحًا عند a > 0.
