什么是多伽马函数？
n 阶多伽马函数记作 \(\psi^{(n)}(a)\)，定义为伽马函数自然对数的第 (n+1) 阶导数。按照本计算器采用的编号方式：\(n = -1\) 返回对数伽马函数 \(\ln\Gamma(a)\) 本身；\(n = 0\) 返回双伽马函数 \(\psi(a)\)；\(n = 1\) 为三伽马函数；\(n = 2\) 为四伽马函数，依此类推。这些特殊函数广泛出现在概率论、统计学（伽马分布与贝塔分布的极大似然估计）、数论以及渐近分析中。它属于纯数学概念，在任何地方的运算结果都完全一致。
如何使用本计算器
先从下拉菜单中选择导数阶数 \(n\)（-1、0、1、2、3 或 4），再输入实数自变量 \(a\)。点击计算，即可得到精确到约 12 位有效数字的 \(\psi^{(n)}(a)\)。本算法对 \(a > 0\) 完全有效；当 \(a\) 小于或等于 0 时，函数需要借助反射公式处理，因此计算器会将非正整数（即伽马函数的极点）标记为无定义。
公式详解
当 \(n = -1\) 时，对数伽马 \(\ln\Gamma\) 采用 Lanczos 近似计算。当 \(n = 0\) 时，双伽马函数先利用递推公式 \(\psi(x) = \psi(x+1) - \frac{1}{x}\) 将自变量推升至 6 以上，再用渐近级数 \(\psi(x) \sim \ln x - \frac{1}{2x} - \frac{1}{12x^2} + \dots\) 求值。当 \(n \geq 1\) 时，则用递推公式 \(\psi^{(n)}(x) = \psi^{(n)}(x+1) + \frac{(-1)^{n+1}\, n!}{x^{n+1}}\) 将自变量移至 10 以上，最后再由含伯努利数的渐近级数完成求值。
计算实例
取 \(n = 1\)、\(a = 5\)（即 5 处的三伽马函数值）。利用恒等式 \(\psi^{(1)}(m) = \frac{\pi^2}{6} - \sum_{k=1}^{m-1} \frac{1}{k^2}\)，可得 $$1.6449340668 - \left(1 + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{9} + \tfrac{1}{16}\right) = 1.6449340668 - 1.4236111111 = 0.2213229557.$$计算器返回的结果约为 \(0.221322955737\)。
常见问题
为什么 \(a = 0\) 或负整数时无定义？ 伽马函数在 0、-1、-2、… 处存在极点，因此 \(\ln\Gamma\) 及所有多伽马函数在这些点都会发散。
双伽马函数与三伽马函数有什么区别？ 双伽马（\(n = 0\)）是 \(\ln\Gamma\) 的一阶导数；三伽马（\(n = 1\)）是它的二阶导数，也就是双伽马函数的导数。
计算结果有多精确？ 采用双精度浮点运算配合"递推加渐近"方法，对 \(a > 0\) 一般可给出约 12 至 15 位正确的有效数字。
