函数变换计算器

输入计算

纵向伸缩 a

横向伸缩 b

横向平移 h

纵向平移 k

在 x 处求值

f 在 b(x−h) 处的取值

结果

g(x) = a·f(b(x−h)) + k

9

变换后的结果

内层自变量 b(x−h)	2
纵向伸缩 a	2
横向伸缩 b	1
横向平移 h	3
纵向平移 k	1

这个计算器能做什么

函数变换计算器采用标准变换形式 \(g(x) = a \cdot f(b(x - h)) + k\)，对基函数 f 进行处理。你不必死记硬背每一条变换规则，只需输入参数 a、b、h、k，给定点 x，再提供基函数在变换后自变量处的取值，工具就会返回变换后的结果，并逐项拆解每一步变换的效果。

使用方法

依次输入四个变换参数：a（纵向伸缩/压缩）、b（横向伸缩/压缩）、h（横向平移）和 k（纵向平移）。然后填入你要求值的 x，以及基函数 f 在内层自变量 \(b(x - h)\) 处的取值。计算器会给出 \(g(x)\)，同时显示内层自变量的数值，方便你核对基函数应当代入的输入是多少。

公式详解

每个参数对应一种几何变换：a 让图像沿纵向拉伸 \(|a|\) 倍，若 a 为负，则相对于 x 轴作反射。b 让图像沿横向压缩 \(|b|\) 倍，若 b 为负，则相对于 y 轴作反射。h 使图像向右平移 h 个单位（h 为负时则向左平移），k 使图像向上平移 k 个单位（为负时向下平移）。变换顺序很关键：横向的缩放和平移发生在函数内部，因此自变量变为 \(u = b(x - h)\)。

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Each parameter in g(x)=a·f(b(x−h))+k controls a different transformation: a stretch/reflect, b horizontal scale, h horizontal shift, k vertical shift.

实例演示

假设 a = 2、b = 1、h = 3、k = 1，且 x = 5。内层自变量为 $$u = 1 \cdot (5 - 3) = 2.$$ 如果 \(f(2) = 4\)，那么 $$g(5) = 2 \cdot 4 + 1 = 9.$$ 也就是说，f 的图像被纵向拉伸了 2 倍，向右平移 3 个单位，再向上平移 1 个单位。

The four basic effects: vertical stretch (a), horizontal scale (b), horizontal shift (h), and vertical shift (k).

常见问题

为什么要手动输入基函数的值？这个计算器不限定具体的函数形式——它适用于任意 f。你只需自行计算或查出 f 在内层自变量处的取值，工具就会替你完成变换的代数运算。

什么情况下会产生反射？a 为负时，图像相对于 x 轴反射；b 为负时，图像相对于 y 轴反射。

h 是向左还是向右平移？h 为正时图像向右平移，因为自变量写作 \((x - h)\)。