पॉलीगामा फ़ंक्शन क्या है?
क्रम n का पॉलीगामा फ़ंक्शन, जिसे \(\psi^{(n)}(a)\) लिखा जाता है, गामा फ़ंक्शन के प्राकृतिक लघुगणक (नैचुरल लॉगरिदम) का (n+1)-वाँ अवकलज (डेरिवेटिव) होता है। यहाँ इस्तेमाल किए गए इंडेक्सिंग के अनुसार, \(n = -1\) स्वयं लॉग-गामा फ़ंक्शन \(\ln\Gamma(a)\) देता है, \(n = 0\) डाइगामा फ़ंक्शन \(\psi(a)\) देता है, \(n = 1\) ट्राइगामा फ़ंक्शन, \(n = 2\) टेट्रागामा, और इसी तरह आगे। ये विशेष फ़ंक्शन प्रायिकता (प्रोबेबिलिटी), सांख्यिकी (गामा और बीटा वितरणों के लिए मैक्सिमम-लाइकलीहुड अनुमान), संख्या सिद्धांत और एसिम्प्टोटिक विश्लेषण में हर जगह दिखाई देते हैं। यह शुद्ध गणित है और हर जगह एक समान रूप से लागू होता है।
$$\psi^{(n)}(a) = \frac{d^{n+1}}{da^{n+1}} \ln\Gamma\!\left(a\right), \quad n = \text{order}$$
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
ड्रॉपडाउन से अवकलज क्रम \(n\) चुनें (-1, 0, 1, 2, 3, या 4) और तर्क (आर्ग्युमेंट) \(a\) को एक वास्तविक संख्या के रूप में टाइप करें। calculate दबाएँ और लगभग 12 सार्थक अंकों तक \(\psi^{(n)}(a)\) का मान पाएँ। यह गणना \(a > 0\) के लिए पूरी तरह मान्य है; जब \(a\), 0 से कम या उसके बराबर हो तो इन फ़ंक्शनों के लिए रिफ्लेक्शन की ज़रूरत पड़ती है, और कैलकुलेटर अऋणात्मक न होने वाले पूर्णांकों (गामा फ़ंक्शन के पोल/ध्रुवों) को अपरिभाषित बताता है।
सूत्र की व्याख्या
\(n = -1\) के लिए मान, \(\ln\Gamma\) हेतु लैंक्ज़ोस सन्निकटन (Lanczos approximation) से निकाला जाता है। \(n = 0\) के लिए डाइगामा को पुनरावृत्ति सूत्र \(\psi(x) = \psi(x+1) - \frac{1}{x}\) से ज्ञात किया जाता है ताकि तर्क को 6 से ऊपर ले जाया जा सके, उसके बाद एसिम्प्टोटिक श्रेणी \(\psi(x) \sim \ln x - \frac{1}{2x} - \frac{1}{12 x^2} + \cdots\) लगाई जाती है। \(n \geq 1\) के लिए पुनरावृत्ति सूत्र \(\psi^{(n)}(x) = \psi^{(n)}(x+1) + \frac{(-1)^{n+1}\, n!}{x^{n+1}}\) तर्क को 10 से आगे खिसकाता है, फिर बर्नूली-संख्या आधारित एसिम्प्टोटिक श्रेणी से गणना पूरी होती है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(n = 1\), \(a = 5\) (अर्थात् 5 पर ट्राइगामा)। सर्वसमिका \(\psi^{(1)}(m) = \frac{\pi^2}{6} - \sum_{k=1}^{m-1} \frac{1}{k^2}\) का उपयोग करते हुए, हमें मिलता है $$1.6449340668 - \left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16}\right) = 1.6449340668 - 1.4236111111 = 0.2213229557$$ कैलकुलेटर लगभग \(0.221322955737\) लौटाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
\(a = 0\) या ऋणात्मक पूर्णांक पर मान अपरिभाषित क्यों होता है? गामा फ़ंक्शन के \(0, -1, -2, \ldots\) पर पोल (ध्रुव) होते हैं, इसलिए वहाँ \(\ln\Gamma\) और हर पॉलीगामा फ़ंक्शन अपसरण (diverge) करते हैं।
डाइगामा और ट्राइगामा में क्या अंतर है? डाइगामा (\(n = 0\)), \(\ln\Gamma\) का पहला अवकलज है; ट्राइगामा (\(n = 1\)) दूसरा अवकलज है, जो डाइगामा के अवकलज के बराबर होता है।
परिणाम कितना सटीक होता है? शिफ्ट-एंड-एसिम्प्टोटिक विधि के साथ डबल-प्रिसिज़न अंकगणित, \(a > 0\) के लिए लगभग 12-15 सही सार्थक अंक देता है।
