यह कैलकुलेटर क्या करता है
फलन अंत्य व्यवहार कैलकुलेटर आपको बताता है कि जब इनपुट x बहुत बाईं ओर (x → −∞) और बहुत दाईं ओर (x → +∞) की ओर बढ़ता है तो किसी बहुपद फलन के आउटपुट के साथ क्या होता है। आपको केवल दो संख्याएँ चाहिए: बहुपद की घात और उसका अग्र गुणांक। हर निम्न-घात वाला पद आलेख के सिरों के लिए अप्रासंगिक होता है।
यह कैसे काम करता है
x के बहुत बड़े मानों के लिए, सबसे बड़ी घात वाला पद बाकी सभी निम्न-घात पदों के योग से भी तेज़ी से बढ़ता है, इसलिए अकेले वही तय करता है कि आलेख का हर सिरा किस दिशा में जाएगा। इस शॉर्टकट को अग्र गुणांक परीक्षण कहते हैं। घात n और अग्र गुणांक a_n दिए होने पर, चार संभावित परिणाम हैं:
- n सम, a_n > 0: दोनों सिरे ऊपर उठते हैं — बायाँ → +∞, दायाँ → +∞।
- n सम, a_n < 0: दोनों सिरे नीचे गिरते हैं — बायाँ → −∞, दायाँ → −∞।
- n विषम, a_n > 0: बायाँ गिरता है, दायाँ उठता है — बायाँ → −∞, दायाँ → +∞।
- n विषम, a_n < 0: बायाँ उठता है, दायाँ गिरता है — बायाँ → +∞, दायाँ → −∞।
सूत्र
मानक रूप में लिखे किसी बहुपद के लिए:
$$f(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0, \quad a_n \neq 0$$अंत्य व्यवहार केवल अग्र पद के अंत्य व्यवहार के बराबर होता है:
$$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} a_n x^n$$a_n का चिह्न दायाँ सिरा तय करता है, और n की सम-विषमता तय करती है कि बायाँ सिरा उसके समान होगा या उसका दर्पण-प्रतिबिंब।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए f(x) = −2x^3 + 5x − 1। घात n = 3 है, जो विषम है, और अग्र गुणांक a_n = −2 है, जो ऋणात्मक है। ऋणात्मक अग्र गुणांक के साथ विषम घात होने पर बायाँ सिरा ऊपर उठता है और दायाँ सिरा नीचे गिरता है। इसलिए जब x → −∞, तब f(x) → +∞, और जब x → +∞, तब f(x) → −∞। +5x और −1 पदों का सिरों पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या निम्न-घात वाले पद कभी अंत्य व्यवहार बदलते हैं? नहीं। जैसे-जैसे x असीमित रूप से बढ़ता है, अग्र पद हर दूसरे पद पर हावी हो जाता है, इसलिए सिरों के लिए केवल घात और अग्र गुणांक ही मायने रखते हैं।
जब घात सम हो तब क्या होता है? दोनों सिरे एक ही दिशा में जाते हैं: अग्र गुणांक धनात्मक होने पर दोनों ऊपर, और ऋणात्मक होने पर दोनों नीचे — ठीक एक परवलय की तरह।
क्या अंत्य व्यवहार बताता है कि आलेख में कितने मोड़ बिंदु हैं? नहीं। अंत्य व्यवहार केवल दो सिरों का वर्णन करता है। n घात वाले बहुपद में अधिकतम n − 1 मोड़ बिंदु होते हैं, लेकिन यह इस बात से अलग गुण है कि सिरे किस ओर जाते हैं।
