関数の端の挙動計算ツール

結果

End Behavior of f(x)

As x → −∞, f(x) → −∞; as x → +∞, f(x) → +∞

odd degree, positive leading coefficient

Degree (n)	3
Leading coefficient (aₙ)	1
Degree parity	odd
Left tail — as x → −∞	f(x) → −∞
Right tail — as x → +∞	f(x) → +∞

この計算ツールでできること

関数の端の挙動計算ツールは、入力 x が左のはるか彼方（x → −∞）と右のはるか彼方（x → +∞）へ向かうとき、多項式関数の出力がどうなるかを教えてくれます。必要なのは 2 つの数だけ、すなわち多項式の次数と最高次の係数です。それより低い次数の項は、グラフの両端には一切関係しません。

仕組み

x が非常に大きいとき、最高次の項は他のすべての低次の項を合わせたよりも速く増加するため、その項だけでグラフの各端がどちらを向くかが決まります。この近道は最高次係数の判定法と呼ばれます。次数 n と最高次の係数 a_n が与えられたとき、起こりうる結果は次の 4 通りです。

n が偶数、a_n > 0: 両端とも上がる — 左 → +∞、右 → +∞。
n が偶数、a_n < 0: 両端とも下がる — 左 → −∞、右 → −∞。
n が奇数、a_n > 0: 左は下がり、右は上がる — 左 → −∞、右 → +∞。
n が奇数、a_n < 0: 左は上がり、右は下がる — 左 → +∞、右 → −∞。

公式

標準形で書かれた多項式について:

$$f(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0, \quad a_n \neq 0$$

端の挙動は、最高次の項だけの端の挙動に等しくなります。

$$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} a_n x^n$$

a_n の符号が右端を決め、n の偶奇が左端を右端と一致させるか反転させるかを決めます。

計算例

f(x) = −2x^3 + 5x − 1 を考えます。次数は n = 3 で奇数、最高次の係数は a_n = −2 で負です。奇数次で最高次の係数が負のとき、左端は上がり、右端は下がります。したがって x → −∞ のとき f(x) → +∞、x → +∞ のとき f(x) → −∞ となります。+5x と −1 の項は両端に影響しません。