Máy tính hành vi hai đầu của hàm số

Nhập phép tính

Degree (n)

Leading coefficient (aₙ)

Kết quả

End Behavior of f(x)

As x → −∞, f(x) → −∞; as x → +∞, f(x) → +∞

odd degree, positive leading coefficient

Degree (n)	3
Leading coefficient (aₙ)	1
Degree parity	odd
Left tail — as x → −∞	f(x) → −∞
Right tail — as x → +∞	f(x) → +∞

Công cụ này làm gì

Máy tính hành vi hai đầu của hàm số cho bạn biết đầu ra của một hàm đa thức thay đổi ra sao khi biến x tiến ra vô cùng bên trái (x → −∞) và vô cùng bên phải (x → +∞). Bạn chỉ cần hai con số: bậc của đa thức và hệ số dẫn đầu của nó. Mọi số hạng bậc thấp hơn đều không ảnh hưởng đến hai nhánh của đồ thị.

Cách hoạt động

Với các giá trị x rất lớn, số hạng bậc cao nhất tăng nhanh hơn tất cả các số hạng bậc thấp cộng lại, nên chỉ riêng nó quyết định mỗi nhánh của đồ thị hướng về đâu. Mẹo này được gọi là quy tắc hệ số dẫn đầu. Với bậc n và hệ số dẫn đầu a_n, có bốn trường hợp có thể xảy ra:

• n chẵn, a_n > 0: cả hai nhánh đi lên — trái → +∞, phải → +∞.
• n chẵn, a_n < 0: cả hai nhánh đi xuống — trái → −∞, phải → −∞.
• n lẻ, a_n > 0: nhánh trái đi xuống, nhánh phải đi lên — trái → −∞, phải → +∞.
• n lẻ, a_n < 0: nhánh trái đi lên, nhánh phải đi xuống — trái → +∞, phải → −∞.

Công thức

Quảng cáo

Với một đa thức viết ở dạng chuẩn:

$$f(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0, \quad a_n \neq 0$$

hành vi ở hai đầu bằng đúng hành vi ở hai đầu của riêng số hạng dẫn đầu:

$$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} a_n x^n$$

Dấu của a_n quyết định nhánh phải, còn tính chẵn lẻ của n quyết định nhánh trái trùng hay ngược với nhánh phải.

Ví dụ minh họa

Lấy f(x) = −2x^3 + 5x − 1. Bậc là n = 3, một số lẻ, và hệ số dẫn đầu là a_n = −2, một số âm. Bậc lẻ với hệ số dẫn đầu âm cho nhánh trái đi lên và nhánh phải đi xuống. Vậy khi x → −∞ thì f(x) → +∞, và khi x → +∞ thì f(x) → −∞. Các số hạng +5x và −1 không ảnh hưởng gì đến hai nhánh.

Quảng cáo

Câu hỏi thường gặp

Các số hạng bậc thấp có bao giờ làm thay đổi hành vi ở hai đầu không? Không. Khi x tăng vô hạn, số hạng dẫn đầu lấn át mọi số hạng khác, nên chỉ bậc và hệ số dẫn đầu mới quyết định hai nhánh.

Điều gì xảy ra khi bậc là số chẵn? Hai đầu cùng hướng về một phía: cùng đi lên khi hệ số dẫn đầu dương, cùng đi xuống khi nó âm — giống như một parabol.

Hành vi ở hai đầu có cho biết đồ thị có bao nhiêu điểm cực trị không? Không. Hành vi ở hai đầu chỉ mô tả hai nhánh. Một đa thức bậc n có nhiều nhất n − 1 điểm cực trị, nhưng đó là một tính chất khác với việc hai nhánh đi về đâu.