함수 끝 모양 계산기

결과

End Behavior of f(x)

As x → −∞, f(x) → −∞; as x → +∞, f(x) → +∞

odd degree, positive leading coefficient

Degree (n)	3
Leading coefficient (aₙ)	1
Degree parity	odd
Left tail — as x → −∞	f(x) → −∞
Right tail — as x → +∞	f(x) → +∞

이 계산기가 하는 일

함수 끝 모양 계산기는 입력 x가 맨 왼쪽(x → −∞)과 맨 오른쪽(x → +∞)으로 멀어질 때 다항함수의 출력이 어떻게 되는지 알려줍니다. 필요한 것은 두 숫자뿐입니다: 다항식의 차수와 최고차항의 계수입니다. 그보다 낮은 차수의 항은 그래프의 양 끝에 아무런 영향을 주지 않습니다.

작동 원리

x가 아주 커지면 최고차항이 다른 모든 저차항을 합친 것보다 빠르게 커지므로, 그 항 하나가 그래프의 각 끝이 어느 방향을 향할지 결정합니다. 이 지름길을 최고차항 계수 판정법이라고 합니다. 차수 n과 최고차항의 계수 a_n이 주어지면, 가능한 결과는 네 가지입니다:

n이 짝수, a_n > 0: 양 끝이 모두 올라감 — 왼쪽 → +∞, 오른쪽 → +∞.
n이 짝수, a_n < 0: 양 끝이 모두 내려감 — 왼쪽 → −∞, 오른쪽 → −∞.
n이 홀수, a_n > 0: 왼쪽은 내려가고 오른쪽은 올라감 — 왼쪽 → −∞, 오른쪽 → +∞.
n이 홀수, a_n < 0: 왼쪽은 올라가고 오른쪽은 내려감 — 왼쪽 → +∞, 오른쪽 → −∞.

공식

표준형으로 쓴 다항식에 대해:

$$f(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0, \quad a_n \neq 0$$

끝 모양은 최고차항만의 끝 모양과 같습니다:

$$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} a_n x^n$$

a_n의 부호가 오른쪽 끝을 결정하고, n의 홀짝이 왼쪽 끝이 오른쪽 끝과 같은지 반대인지를 결정합니다.

풀이 예제

f(x) = −2x^3 + 5x − 1을 살펴봅시다. 차수는 n = 3으로 홀수이고, 최고차항의 계수는 a_n = −2로 음수입니다. 홀수 차수에 음의 최고차항 계수이면 왼쪽 끝은 올라가고 오른쪽 끝은 내려갑니다. 따라서 x → −∞일 때 f(x) → +∞이고, x → +∞일 때 f(x) → −∞입니다. +5x와 −1 항은 양 끝에 아무런 영향을 주지 않습니다.