Fonksiyon Uç Davranışı Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

Degree (n)

Leading coefficient (aₙ)

Sonuç

End Behavior of f(x)

As x → −∞, f(x) → −∞; as x → +∞, f(x) → +∞

odd degree, positive leading coefficient

Degree (n)	3
Leading coefficient (aₙ)	1
Degree parity	odd
Left tail — as x → −∞	f(x) → −∞
Right tail — as x → +∞	f(x) → +∞

Bu hesaplayıcı ne yapar

Fonksiyon Uç Davranışı Hesaplayıcı, girdi x uzak sola (x → −∞) ve uzak sağa (x → +∞) doğru fırlarken bir polinom fonksiyonunun çıktısına ne olduğunu söyler. Yalnızca iki sayıya ihtiyacınız var: polinomun derecesi ve baş katsayısı. Daha düşük dereceli her terim, grafiğin kuyrukları için önemsizdir.

Nasıl çalışır

x'in çok büyük değerleri için en yüksek dereceli terim, daha düşük dereceli tüm terimlerin toplamından daha hızlı büyür; bu nedenle grafiğin her kuyruğunun hangi yöne işaret ettiğine tek başına o karar verir. Bu kısayola Baş Katsayı Testi denir. Derece n ve baş katsayı a_n verildiğinde, dört olası sonuç şunlardır:

• n çift, a_n > 0: her iki kuyruk da yükselir — sol → +∞, sağ → +∞.
• n çift, a_n < 0: her iki kuyruk da alçalır — sol → −∞, sağ → −∞.
• n tek, a_n > 0: sol alçalır, sağ yükselir — sol → −∞, sağ → +∞.
• n tek, a_n < 0: sol yükselir, sağ alçalır — sol → +∞, sağ → −∞.

Formül

Reklam

Standart biçimde yazılmış bir polinom için:

$$f(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0, \quad a_n \neq 0$$

uç davranış, yalnızca baş terimin uç davranışına eşittir:

$$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} a_n x^n$$

a_n'nin işareti sağ kuyruğu belirler, n'nin tek mi çift mi olduğu ise sol kuyruğun ona uyup uymadığını (yoksa onu aynalayıp aynalamadığını) belirler.

Çözümlü örnek

f(x) = −2x^3 + 5x − 1 alalım. Derece n = 3'tür ve tektir; baş katsayı ise a_n = −2 olup negatiftir. Negatif baş katsayılı tek derece, yükselen bir sol kuyruk ve alçalan bir sağ kuyruk verir. Böylece x → −∞ iken f(x) → +∞ ve x → +∞ iken f(x) → −∞ olur. +5x ve −1 terimlerinin kuyruklar üzerinde hiçbir etkisi yoktur.

Reklam

Sıkça sorulan sorular

Düşük dereceli terimler uç davranışı hiç değiştirir mi? Hayır. x sınırsızca büyürken baş terim diğer tüm terimlere baskın gelir; bu yüzden kuyruklar için yalnızca derece ve baş katsayı önemlidir.

Derece çift olduğunda ne olur? Her iki uç da aynı yöne bakar: baş katsayı pozitifken birlikte yukarı, negatifken birlikte aşağı — tıpkı bir parabol gibi.

Uç davranış, grafiğin kaç dönüm noktası olduğunu söyler mi? Hayır. Uç davranış yalnızca iki kuyruğu tanımlar. n dereceli bir polinomun en fazla n − 1 dönüm noktası vardır, ancak bu, kuyrukların nereye gittiğinden ayrı bir özelliktir.