Ce que fait ce calculateur
Le calculateur de comportement aux extrémités d'une fonction vous indique ce qu'il advient de la sortie d'une fonction polynomiale lorsque l'entrée x file vers l'extrême gauche (x → −∞) et l'extrême droite (x → +∞). Deux nombres suffisent : le degré du polynôme et son coefficient dominant. Tout terme de degré inférieur n'a aucune importance pour les extrémités de la courbe.
Comment ça marche
Pour de très grandes valeurs de x, le terme de plus haut degré croît plus vite que tous les termes de degré inférieur réunis ; c'est donc lui seul qui décide dans quelle direction pointe chaque extrémité de la courbe. Ce raccourci s'appelle le test du coefficient dominant. Étant donné le degré n et le coefficient dominant a_n, les quatre résultats possibles sont :
- n pair, a_n > 0 : les deux extrémités montent — gauche → +∞, droite → +∞.
- n pair, a_n < 0 : les deux extrémités descendent — gauche → −∞, droite → −∞.
- n impair, a_n > 0 : la gauche descend, la droite monte — gauche → −∞, droite → +∞.
- n impair, a_n < 0 : la gauche monte, la droite descend — gauche → +∞, droite → −∞.
Formule
Pour un polynôme écrit sous forme standard :
$$f(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0, \quad a_n \neq 0$$le comportement aux extrémités est égal à celui du seul terme dominant :
$$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} a_n x^n$$Le signe de a_n détermine l'extrémité droite, et la parité de n détermine si l'extrémité gauche lui correspond ou en est le miroir.
Exemple résolu
Prenons f(x) = −2x^3 + 5x − 1. Le degré est n = 3, qui est impair, et le coefficient dominant est a_n = −2, qui est négatif. Un degré impair avec un coefficient dominant négatif donne une extrémité gauche qui monte et une extrémité droite qui descend. Ainsi, quand x → −∞, f(x) → +∞, et quand x → +∞, f(x) → −∞. Les termes +5x et −1 n'ont aucun effet sur les extrémités.
Foire aux questions
Les termes de degré inférieur modifient-ils parfois le comportement aux extrémités ? Non. Lorsque x croît sans limite, le terme dominant l'emporte sur tous les autres ; seuls le degré et le coefficient dominant comptent pour les extrémités.
Que se passe-t-il lorsque le degré est pair ? Les deux extrémités pointent dans la même direction : vers le haut ensemble lorsque le coefficient dominant est positif, vers le bas ensemble lorsqu'il est négatif — exactement comme une parabole.
Le comportement aux extrémités m'indique-t-il combien de points de retournement possède la courbe ? Non. Le comportement aux extrémités ne décrit que les deux extrémités. Un polynôme de degré n possède au plus n − 1 points de retournement, mais c'est une propriété distincte de la direction des extrémités.
