Qu'est-ce que la fonction de Brillouin ?
La fonction de Brillouin \(B_J(x)\) décrit l'aimantation d'un matériau paramagnétique composé d'atomes dont le nombre quantique de moment cinétique total vaut J. En physique statistique, l'argument sans dimension s'écrit \(x = g\cdot\mu_B\cdot J\cdot B / (k_B\cdot T)\), c'est-à-dire le rapport entre l'énergie magnétique et l'énergie thermique. Ce calculateur est un évaluateur purement mathématique de fonction spéciale : vous saisissez x directement (sans unité physique) et il renvoie un tableau ainsi qu'un graphique de \(B_J(x)\). Lorsque J devient très grand, la fonction tend vers la fonction de Langevin classique \(L(x)\), que vous pouvez obtenir en saisissant « inf ».
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez J sous forme d'entier, de fraction demi-entière comme 1/2 ou 3/2, ou de décimal comme 0,5. Tapez « inf » pour obtenir la limite de Langevin. Indiquez ensuite la première valeur de x (Valeur initiale de x), l'écart entre deux points (Incrément), puis le nombre de lignes à générer. Les valeurs de x sont calculées selon \(x_i = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\) pour i allant de 0 à count\(-\)1. L'outil affiche chaque couple \((x, B_J(x))\) et trace la courbe correspondante.
La formule expliquée
Pour J fini, la fonction combine deux cotangentes hyperboliques :
$$B_J(x) = \frac{2J+1}{2J}\coth\!\left(\frac{2J+1}{2J}\,x\right) - \frac{1}{2J}\coth\!\left(\frac{x}{2J}\right)$$Elle est impaire, d'où \(B_J(-x) = -B_J(x)\), passe par l'origine (\(B_J(0) = 0\)) et sature à \(\pm 1\) lorsque \(x \to \pm\infty\). Comme coth présente une singularité en zéro, le calculateur renvoie 0 pour x à l'origine (ou extrêmement proche), ce qui correspond à la limite analytique correcte.
Exemple résolu
Prenons \(J = 1/2\) (donc \(2J = 1\)) en \(x = 1\). On a alors \((2J+1)/2J = 2\) et \(1/2J = 1\), ce qui donne
$$B_{1/2}(1) = 2\cdot\coth(2) - \coth(1) = 2(1{,}037314) - 1{,}313035 = 0{,}761594$$Pour vérifier : pour \(J = 1/2\), la fonction de Brillouin est égale à \(\tanh(x)\), et \(\tanh(1) = 0{,}761594\). Dans le cas de Langevin en \(x = 2\) :
$$L(2) = \coth(2) - \frac{1}{2} = 1{,}037314 - 0{,}5 = 0{,}537314$$Interprétation du résultat de la fonction de Brillouin
La valeur renvoyée par la calculatrice, \(B_J(x)\), est adimensionnelle et bornée entre 0 et 1. Physiquement, elle égale l'aimantation fractionnaire d'un paramagnétique — le rapport de l'aimantation réelle à l'aimantation de saturation :
$$B_J(x) = \frac{M}{M_\text{sat}}, \qquad 0 \le B_J(x) \le 1.$$Un résultat de 0 signifie aucun alignement net des moments magnétiques (champ nul ou température infinie), tandis qu'un résultat s'approchant de 1 signifie que chaque moment est complètement aligné avec le champ appliqué (saturation complète).
L'argument x : énergie magnétique vs énergie thermique
L'entrée \(x\) est le rapport de l'énergie magnétique (Zeeman) d'un moment à l'énergie thermique disponible :
$$x = \frac{g\,\mu_B\,J\,B}{k_B\,T}.$$Quand \(x\) est petit, l'agitation thermique aléatoire \(k_B T\) domine l'énergie magnétique d'alignement, de sorte que les moments sont presque aléatoires ; quand \(x\) est grand, l'énergie magnétique gagne et les moments s'alignent.
Régime basse-x (Curie)
Pour \(x \ll 1\), la fonction de Brillouin est linéaire en \(x\) :
$$B_J(x) \approx \frac{J+1}{3J}\,x.$$En substituant \(x = g\mu_B J B /(k_B T)\), on obtient une aimantation proportionnelle à \(B/T\), ce qui est exactement la loi de Curie : la susceptibilité chute comme \(1/T\). C'est le régime qui s'applique aux paramagnétiques ordinaires dans les champs de laboratoire à température ambiante, où \(B_J(x)\) est généralement bien inférieur à 1.
Régime de saturation haute-x
Pour \(x \gg 1\), les deux cotangentes hyperboliques tendent vers 1 et la fonction sature :
$$B_J(x) \to 1.$$Cela correspond à des champs forts et/ou à des températures très basses, où essentiellement tous les moments magnétiques pointent selon le champ et l'aimantation ne peut plus augmenter. Sur le graphique, cela apparaît comme un plateau s'approchant de la ligne horizontale \(B_J=1\). Quand \(J \to \infty\), la courbe s'approche de la fonction de Langevin classique \(L(x)=\coth x - 1/x\).
Termes clés et variables
| Symbole / Terme | Signification |
|---|---|
| \(J\) | Nombre quantique du moment angulaire total de l'ion magnétique (combine les contributions orbitales et de spin). Peut être entier ou demi-entier (par ex. 1/2, 1, 3/2, 2). Il détermine la forme de la courbe et le nombre d'états \(m_J\) accessibles, \(2J+1\). |
| \(x\) | Argument adimensionnel de la fonction, \(x = g\mu_B J B/(k_B T)\) — le rapport de l'énergie magnétique (Zeeman) à l'énergie thermique. C'est l'axe horizontal du tableau et du graphique. |
| \(g\) | Facteur de Landé (facteur de dédoublement spectroscopique), un nombre adimensionnel reliant le moment magnétique au moment angulaire. Pour le pur spin, \(g \approx 2\) ; pour le moment angulaire orbital et de spin combiné, il est donné par la formule de Landé. |
| \(\mu_B\) | Magnéton de Bohr, l'unité naturelle du moment magnétique atomique, \(\mu_B = e\hbar/(2m_e) \approx 9.274\times10^{-24}\ \text{J/T}\). |
| \(k_B\) | Constante de Boltzmann, \(k_B \approx 1.381\times10^{-23}\ \text{J/K}\), convertissant la température en énergie thermique \(k_B T\). |
| \(B\) | Densité de flux magnétique (champ magnétique), mesurée en tesla (T). Un \(B\) plus grand augmente \(x\) et pousse le système vers la saturation. |
| \(T\) | Température absolue en kelvin (K). Une \(T\) plus élevée augmente la randomisation thermique, diminuant \(x\) et l'aimantation. |
| \(\coth\) | Cotangente hyperbolique, \(\coth(u) = \cosh(u)/\sinh(u) = (e^{u}+e^{-u})/(e^{u}-e^{-u})\) ; elle apparaît deux fois dans la fonction de Brillouin et tend vers 1 pour \(u\) grand. |
| Fonction de Langevin \(L(x)\) | La limite classique de la fonction de Brillouin quand \(J \to \infty\) : \(L(x) = \coth x - 1/x\). Elle décrit les dipôles magnétiques classiques en rotation libre (sans quantification de l'orientation). |
FAQ
Pourquoi \(B_J(0)\) vaut-il 0 ? Les deux termes en coth divergent en \(x = 0\), mais leur différence admet la limite finie 0 ; c'est cette limite que l'outil affiche.
Quelles valeurs de J sont admises ? Les entiers et demi-entiers positifs (1/2, 1, 3/2, 2, …). \(J = 0\) n'est pas valide car cela entraîne une division par zéro, et le calculateur avertit en cas de valeur qui n'est pas un demi-entier.
Comment obtenir la fonction de Langevin ? Saisissez « inf » (ou « infinity ») pour J afin d'utiliser \(L(x) = \coth(x) - \frac{1}{x}\).
