ما هي دالة بريلوان؟
تصف دالة بريلوان \(B_J(x)\) تمغنط مادة بارامغناطيسية مكوّنة من ذرات لها عدد كمّي للزخم الزاوي الكلي مقداره J. في الميكانيكا الإحصائية يُعطى المتغير عديم الأبعاد بالعلاقة \(x = g\cdot\mu_B\cdot J\cdot B / (k_B\cdot T)\)، وهو نسبة الطاقة المغناطيسية إلى الطاقة الحرارية. هذه الحاسبة عبارة عن مُقيّم رياضي بحت لدالة خاصة: أنت تُدخل قيمة x مباشرةً (دون أي وحدات فيزيائية)، وتعيد لك جدولًا ورسمًا بيانيًا لـ \(B_J(x)\). وعندما تصبح J كبيرة جدًا تقترب الدالة من دالة لانجفان الكلاسيكية \(L(x)\)، والتي يمكنك اختيارها بإدخال الكلمة "inf".
كيفية استخدام هذه الحاسبة
أدخل قيمة J كعدد صحيح، أو ككسر نصفي مثل 1/2 أو 3/2، أو كعدد عشري مثل 0.5. واكتب "inf" للحصول على حد لانجفان. ثم حدّد أول قيمة لـ x (القيمة الابتدائية لـ x)، والمسافة بين النقاط (مقدار الزيادة)، وعدد الصفوف المراد توليدها. تُولَّد قيم x وفق العلاقة \(x_i = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\) من \(i = 0\) حتى \(\text{count}-1\). تطبع الأداة كل زوج \((x, B_J(x))\) وترسم المنحنى.
شرح المعادلة
عند قيمة منتهية لـ J تجمع الدالة بين قطعَين زائديَّين من نوع التظل التمامي (coth): $$B_J(x) = \frac{2J+1}{2J}\coth\!\left(\frac{2J+1}{2J}\,x\right) - \frac{1}{2J}\coth\!\left(\frac{x}{2J}\right)$$ وهي دالة فردية، أي أن \(B_J(-x) = -B_J(x)\)، وتمر بنقطة الأصل (\(B_J(0)=0\))، وتتشبّع عند \(\pm 1\) عندما \(x \to \pm\infty\). وبما أن للدالة coth تفرّدًا (نقطة شذوذ) عند الصفر، فإن الحاسبة تعيد القيمة 0 عند x المساوية للأصل (أو القريبة منه جدًا)، وهي القيمة الحدّية التحليلية الصحيحة.
مثال محلول
لنأخذ \(J = 1/2\) (بحيث \(2J = 1\)) عند \(x = 1\). عندها يكون \((2J+1)/2J = 2\) و \(1/2J = 1\)، فنحصل على $$B_{1/2}(1) = 2\cdot\coth(2) - \coth(1) = 2(1.037314) - 1.313035 = 0.761594$$ وللتحقق: عند \(J = 1/2\) تساوي دالة بريلوان \(\tanh(x)\)، و \(\tanh(1) = 0.761594\). أما في حالة لانجفان عند \(x = 2\): $$L(2) = \coth(2) - \frac{1}{2} = 1.037314 - 0.5 = 0.537314$$
تفسير نتيجة دالة برلوان
القيمة المرجعة من الآلة الحاسبة، \(B_J(x)\)، بلا بُعد ومحصورة بين 0 و 1. فيزيائياً تساوي المغنطة الكسرية لمادة مغناطيسية بالحث الضعيف — نسبة المغنطة الفعلية إلى مغنطة التشبع:
$$B_J(x) = \frac{M}{M_\text{sat}}, \qquad 0 \le B_J(x) \le 1.$$النتيجة 0 تعني عدم وجود توافق صافي للعزوم المغناطيسية (حقل صفري أو درجة حرارة لانهائية)، بينما النتيجة القريبة من 1 تعني أن كل عزم موافق تماماً مع الحقل المطبق (تشبع كامل).
الحجة x: الطاقة المغناطيسية مقابل الطاقة الحرارية
المدخل \(x\) هو نسبة طاقة زيمان (الطاقة المغناطيسية) للعزم إلى الطاقة الحرارية المتاحة:
$$x = \frac{g\,\mu_B\,J\,B}{k_B\,T}.$$عندما يكون \(x\) صغيراً، تهيمن الاهتزازات الحرارية العشوائية \(k_B T\) على الطاقة المغناطيسية المحاذية، لذا تكون العزوم عشوائية تقريباً؛ عندما يكون \(x\) كبيراً، تفوز الطاقة المغناطيسية والعزوم تُقفل في الموافقة.
نظام النطاق المنخفض (كوري)
بالنسبة لـ \(x \ll 1\) دالة برلوان خطية في \(x\):
$$B_J(x) \approx \frac{J+1}{3J}\,x.$$بالتعويض عن \(x = g\mu_B J B /(k_B T)\) نحصل على مغنطة متناسبة مع \(B/T\)، وهذا بالضبط قانون كوري: تنخفض القابلية بمعدل \(1/T\). هذا هو النطاق الذي ينطبق على المغناطيس بالحث الضعيف العادية في الحقول المخبرية في درجة حرارة الغرفة، حيث يكون \(B_J(x)\) عادة أقل بكثير من 1.
نطاق التشبع العالي
بالنسبة لـ \(x \gg 1\) كلا المتطابقين الزائديين يميلان إلى 1 والدالة تتشبع:
$$B_J(x) \to 1.$$هذا يتوافق مع الحقول القوية و/أو درجات الحرارة المنخفضة جداً، حيث تشير جميع العزوم المغناطيسية بشكل أساسي على طول الحقل ولا يمكن للمغنطة أن تزداد أكثر. على الرسم البياني يظهر هذا كهضبة تقترب من الخط الأفقي \(B_J=1\). بينما \(J \to \infty\) تقترب المنحنى من دالة لانجيفين الكلاسيكية \(L(x)=\coth x - 1/x\).
المصطلحات والمتغيرات الأساسية
| الرمز / المصطلح | المعنى |
|---|---|
| \(J\) | عدد الكم الكلي للعزم الزاوي للأيون المغناطيسي (يجمع بين مساهمات مدارية والدوران). قد يكون عدداً صحيحاً أو نصف صحيح (مثلاً 1/2، 1، 3/2، 2). يحدد شكل المنحنى وعدد حالات \(m_J\) المتاحة، \(2J+1\). |
| \(x\) | حجة بلا بُعد للدالة، \(x = g\mu_B J B/(k_B T)\) — نسبة الطاقة المغناطيسية (طاقة زيمان) إلى الطاقة الحرارية. هذا هو المحور الأفقي للجدول والرسم البياني. |
| \(g\) | معامل لاندي (معامل الانقسام الطيفي)، عدد بلا بُعد يربط العزم المغناطيسي بالعزم الزاوي. للدوران النقي \(g \approx 2\)؛ للعزم الزاوي المداري والدوران المجمع يُعطى بواسطة صيغة لاندي. |
| \(\mu_B\) | مغنطون بور، وحدة العزم المغناطيسي الذري الطبيعية، \(\mu_B = e\hbar/(2m_e) \approx 9.274\times10^{-24}\ \text{J/T}\). |
| \(k_B\) | ثابت بولتسمان، \(k_B \approx 1.381\times10^{-23}\ \text{J/K}\)، تحويل درجة الحرارة إلى الطاقة الحرارية \(k_B T\). |
| \(B\) | كثافة الفيض المغناطيسي (الحقل المغناطيسي)، مقيسة بالتسلا (T). يزيد \(B\) الأكبر من \(x\) ويدفع النظام نحو التشبع. |
| \(T\) | درجة الحرارة المطلقة بالكلفن (K). درجات الحرارة الأعلى تزيد التشتت الحراري العشوائي، مما يقلل \(x\) والمغنطة. |
| \(\coth\) | ظل الزاوية الزائد، \(\coth(u) = \cosh(u)/\sinh(u) = (e^{u}+e^{-u})/(e^{u}-e^{-u})\)؛ يظهر مرتين في دالة برلوان ويميل إلى 1 للقيم الكبيرة \(u\). |
| دالة لانجيفن \(L(x)\) | الحد الكلاسيكي لدالة برلوان بينما \(J \to \infty\): \(L(x) = \coth x - 1/x\). تصف ثنائيات القطب المغناطيسية الكلاسيكية الدوارة بحرية (بدون تكميم الاتجاه). |
الأسئلة الشائعة
لماذا تظهر قيمة \(B_J(0)\) كصفر؟ ينحرف كلا حدّي coth إلى ما لا نهاية عند \(x = 0\)، لكن للفرق بينهما نهاية منتهية تساوي 0؛ والأداة تعرض هذه النهاية.
ما القيم الصحيحة لـ J؟ الأعداد الصحيحة الموجبة والأعداد نصف الصحيحة (1/2، 1، 3/2، 2، ...). أما \(J = 0\) فهي قيمة غير صالحة لأنها تؤدي إلى القسمة على صفر، وتنبّهك الحاسبة عند إدخال قيم ليست نصف صحيحة.
كيف أحصل على دالة لانجفان؟ أدخل "inf" (أو "infinity") مكان J لاستخدام \(L(x) = \coth(x) - \frac{1}{x}\).
