ما هو التبديل الدائري؟
يحسب التبديل الدائري عدد الطرق المختلفة لترتيب n من العناصر المتمايزة حول دائرة، مع اعتبار الترتيبات الناتجة عن الدوران متطابقة. فعلى عكس الترتيب في صفّ (الترتيب الخطي)، لا تملك الدائرة نقطة بداية ثابتة، ولهذا فإن إزاحة الجميع مقعدًا واحدًا نحو اليسار تُنتج الترتيب نفسه. تُعيد هذه الحاسبة العدد الدقيق \((n - 1)!\) باستخدام حسابات بدقّة غير محدودة، بحيث تبقى النتائج مضبوطة حتى مع القيم الكبيرة جدًا.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل عدد العناصر المتمايزة n (عدد صحيح موجب، \(n \ge 1\)) واقرأ عدد التباديل الدائرية مباشرةً. على سبيل المثال، عدد طرق إجلاس n من الأشخاص حول طاولة مستديرة، أو ترتيب n من الخرزات المتمايزة في حلقة باتجاه ثابت، يساوي \((n - 1)!\).
شرح الصيغة الرياضية
عدد التباديل الخطية لـ n من العناصر المتمايزة هو \(n!\). أما في الدائرة، فإن كل ترتيب فريد يمكن تدويره إلى n من المواضع المختلفة شكلًا لكنها متكافئة (موضع لكل عنصر يمكن أن يكون نقطة البداية). وبقسمة العدد الخطي على عدد هذه الدورات نحصل على:
$$\frac{n!}{n} = (n - 1)!$$ملاحظة: هذا هو التبديل الدائري القياسي، وهو لا يعتبر الانعكاسات المرآتية (اتجاه عقارب الساعة مقابل عكسها) متطابقة. أما إذا اعتُبرت الانعكاسات متطابقة أيضًا — كما في العقد أو السوار القابل للقلب — فإن العدد يصبح \((n - 1)! / 2\) عندما \(n \ge 3\).
مثال محلول
عند \(n = 5\):
$$(5 - 1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$أي أن خمسة أشخاص متمايزين يمكن إجلاسهم حول طاولة مستديرة بـ 24 طريقة مختلفة بعد اعتبار الدورات متطابقة.
الأسئلة الشائعة
ما الناتج عند n = 1 أو n = 2؟ عند n = 1 يكون \((1 - 1)! = 0! = 1\). وعند n = 2 يكون \((2 - 1)! = 1! = 1\) — إذ لا يوجد للعنصرين في الدائرة سوى ترتيب واحد مختلف بعد مراعاة الدوران.
لماذا نقسم على n بدلًا من الطرح؟ لأن كل ترتيب دائري يقابل تمامًا n من الترتيبات الخطية المتكافئة (واحد لكل دورة)، فإننا نقسم العدد الكلي \(n!\) على n، وهو ما يُبسَّط إلى \((n - 1)!\).
هل تحسب هذه الأداة العقود أو الأساور؟ لا. إنها تحسب التبديل الدائري القياسي \((n - 1)!\). أما حسابات العقود والأساور التي تدمج الصور المرآتية أيضًا فتستخدم \((n - 1)! / 2\) عندما \(n \ge 3\).
