ما هو التبديل الدائري؟
يحسب التبديل الدائري عدد الطرق المختلفة لترتيب n من العناصر المتمايزة حول دائرة، مع اعتبار الترتيبات التي تختلف بالدوران فقط ترتيبًا واحدًا. فبينما توجد \(n!\) طريقة لترتيب n عنصرًا في صف مستقيم، يقابل كل ترتيب دائري n نسخة دوّارة منه، ولذلك يكون عدد الترتيبات الدائرية المتمايزة هو \(n! / n = (n - 1)!\). تبني هذه الحاسبة جدولًا لقيمة \((n - 1)!\) لكل عدد صحيح n ضمن النطاق الذي تختاره.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل قيمة البداية وقيمة النهاية للعدد n (كلٌّ منهما بين 1 و100)، ثم اختر عدد الأرقام المعنوية التي تريد عرضها. تحسب الأداة قيمة \((n - 1)!\) بدقة تامة باستخدام أعداد صحيحة عالية الدقة، ثم تعرض العدد الصحيح كاملًا إذا كان يتسع ضمن عدد الأرقام الذي اخترته، أو تقرّبه إلى الصيغة العلمية في الحالات الأخرى. ونظرًا لأن العامليات تنمو بسرعة هائلة، تُعرَض قيم n الكبيرة بصيغة مثل \(8.84 \times 10^{30}\).
شرح الصيغة الرياضية
ثبّت أحد العناصر في مكانه لإزالة التماثل الدوراني؛ عندئذٍ يمكن ترتيب العناصر الباقية وعددها \((n - 1)\) بـ\((n - 1)!\) طريقة. ولهذا تساوي التباديل الدائرية \((n - 1)!\) وليس \(n!\). لاحظ أن الانعكاسات لا تُعدّ متطابقة هنا، لذا فهذا هو العدّ الموجَّه القياسي وليس عدّ العِقد (القلائد) \((n - 1)! / 2\).
مثال محلول
عندما تتراوح n من 3 إلى 6: تعطي n=3 القيمة $$2! = 2$$ وتعطي n=4 القيمة $$3! = 6$$ وتعطي n=5 القيمة $$4! = 24$$ وتعطي n=6 القيمة $$5! = 120$$ ومن ثَمّ يحتوي الجدول على 4 صفوف. أما بالنسبة لقيمة أكبر، فإن n=30 تعطي $$29! = 8{,}841{,}761{,}993{,}739{,}701{,}954{,}543{,}616{,}000{,}000$$ أي نحو \(8.84 \times 10^{30}\).
الأسئلة الشائعة
لماذا تعطي n=1 وn=2 القيمة 1 في الحالتين؟ لأن \(0! = 1\) و\(1! = 1\)؛ فالعنصر الواحد أو العنصران على دائرة لكلٍّ منهما ترتيب واحد متمايز فقط.
لماذا تُستخدم الصيغة العلمية؟ يحتوي \(99!\) على نحو 156 رقمًا، فتصبح الأعداد الصحيحة الكاملة غير قابلة للقراءة؛ أما إعداد الأرقام المعنوية فيتحكم في العرض فقط ولا يؤثر في الحساب الدقيق الكامن خلفه.
هل تُعدّ الانعكاسات متطابقة؟ لا. تحسب هذه الأداة \((n - 1)!\). أما اعتبار الانعكاسات متطابقة فيقلّص العدد إلى النصف ليصبح \((n - 1)! / 2\).
