Hoán vị vòng tròn là gì?
Hoán vị vòng tròn đếm số cách sắp xếp khác nhau của n vật phân biệt quanh một vòng tròn, trong đó những cách chỉ khác nhau do xoay vòng được xem là giống nhau. Nếu xếp n vật trên một đường thẳng thì có \(n!\) cách, nhưng mỗi cách xếp vòng tròn lại tương ứng với n bản sao xoay vòng, nên số cách sắp xếp vòng tròn khác nhau là \(n! / n = (n - 1)!\). Công cụ này lập bảng giá trị \((n - 1)!\) cho mọi số nguyên n trong dải mà bạn chọn.
Cách sử dụng công cụ
Nhập giá trị đầu và giá trị cuối cho n (mỗi giá trị từ 1 đến 100), sau đó chọn số chữ số có nghĩa muốn hiển thị. Công cụ tính \((n - 1)!\) một cách chính xác bằng số nguyên độ chính xác tùy ý, rồi in ra số nguyên đầy đủ nếu nó nằm gọn trong số chữ số bạn chọn, hoặc làm tròn sang ký hiệu khoa học nếu vượt quá. Vì giai thừa tăng cực kỳ nhanh, các giá trị với n lớn được hiển thị dạng như \(8.84 \times 10^{30}\).
Giải thích công thức
Cố định một vật ở một vị trí để loại bỏ tính đối xứng do xoay; khi đó \((n - 1)\) vật còn lại có thể sắp xếp theo \((n - 1)!\) cách. Đó là lý do hoán vị vòng tròn bằng \((n - 1)!\) chứ không phải \(n!\). Lưu ý rằng phép phản chiếu (lật gương) KHÔNG được xem là giống nhau ở đây, nên đây là cách đếm có hướng tiêu chuẩn, không phải cách đếm chuỗi hạt (necklace) \((n - 1)! / 2\).
$$P_c(n) = (n-1)! = \prod_{k=2}^{n-1} k \quad \text{for } n = \text{Start } n \ \text{to} \ \text{End } n$$
Ví dụ minh họa
Với n chạy từ 3 đến 6: n=3 cho \(2! = 2\), n=4 cho \(3! = 6\), n=5 cho \(4! = 24\), và n=6 cho \(5! = 120\). Vậy bảng có 4 dòng. Với một giá trị lớn hơn, n=30 cho $$29! = 8.841.761.993.739.701.954.543.616.000.000,$$ xấp xỉ \(8.84 \times 10^{30}\).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao n=1 và n=2 đều cho kết quả 1? Vì \(0! = 1\) và \(1! = 1\); một vật hay hai vật trên vòng tròn đều chỉ có đúng một cách sắp xếp khác nhau.
Vì sao dùng ký hiệu khoa học? \(99!\) có khoảng 156 chữ số, nên việc in toàn bộ số nguyên trở nên khó đọc; thiết lập số chữ số có nghĩa chỉ điều chỉnh cách hiển thị chứ không ảnh hưởng đến phép tính chính xác bên dưới.
Phép phản chiếu có được tính là giống nhau không? Không. Công cụ này tính \((n - 1)!\). Nếu xem các phép phản chiếu là giống nhau thì số đếm sẽ giảm một nửa thành \((n - 1)! / 2\).
