什麼是圓排列？
圓排列（環狀排列）計算的是將 \(n\) 個相異物件排在一個圓圈上、且把「只差一個旋轉」的排法視為相同時，總共有幾種不同的排法。若排成一直線，\(n\) 個物件共有 \(n!\) 種排法；但在圓圈上，每一種圓排列都對應到 \(n\) 種旋轉後相同的線性排法，因此不同的圓排列數為 \(n! / n = (n - 1)!\)。本計算器會針對你指定範圍內的每一個整數 \(n\)，列出對應的 \((n - 1)!\) 數值表。
如何使用這個計算器
先輸入 \(n\) 的起始值與結束值（兩者皆介於 1 到 100 之間），再選擇要顯示的有效位數。本工具會以任意精度整數運算精確計算出 \((n - 1)!\)，若結果位數在你設定的範圍內就完整顯示整數，否則四捨五入後改以科學記號呈現。由於階乘成長得極快，較大的 \(n\) 會以類似 \(8.84 \times 10^{30}\) 的形式顯示。
公式解析
先固定其中一個物件位置，以消除旋轉造成的對稱重複；剩下的 \((n - 1)\) 個物件可有 \((n - 1)!\) 種排法。這正是圓排列數等於 \((n - 1)!\) 而非 \(n!\) 的原因。
$$P_c(n) = (n-1)! \quad \text{for } n = \text{Start } n \ \text{to} \ \text{End } n$$
$$P_c(n) = (n-1)! = \prod_{k=2}^{n-1} k \quad \text{for } n = \text{Start } n \ \text{to} \ \text{End } n$$
請特別留意：這裡並未把「鏡像（翻轉）對稱」視為相同，因此計算的是標準的有方向圓排列數，而不是項鍊計數 \((n - 1)! / 2\)。
實際範例
以 \(n\) 從 3 到 6 為例：\(n=3\) 得 \(2! = 2\)，\(n=4\) 得 \(3! = 6\)，\(n=5\) 得 \(4! = 24\)，\(n=6\) 得 \(5! = 120\)，因此表格共有 4 列。若取較大的數值，\(n=30\) 得 $$29! = 8{,}841{,}761{,}993{,}739{,}701{,}954{,}543{,}616{,}000{,}000,$$ 約等於 \(8.84 \times 10^{30}\)。
常見問題
為什麼 \(n=1\) 和 \(n=2\) 的結果都是 1？因為 \(0! = 1\) 且 \(1! = 1\)；無論圓圈上只有一個物件還是兩個物件，都只有唯一一種不同的排法。
為什麼要用科學記號？\(99!\) 約有 156 位數，完整整數根本難以閱讀；有效位數的設定只影響「顯示方式」，並不會改變底層的精確運算結果。
鏡像翻轉會被視為相同嗎？不會。本工具計算的是 \((n - 1)!\)。若把鏡像視為相同，數量會減半成為 \((n - 1)! / 2\)。
