可重複排列計算機

輸入計算

元素個數（n）

選取次數（r）

結果

可重複排列

1,000

種有序排列

元素個數（n）	10
選取次數（r）	3
公式	n^r

什麼是可重複排列？

可重複排列（又稱重複排列）計算的是：每次選取後都把元素放回，再進行下一次選取時，所能組成的有序排列數量。由於元素可以重複出現、而且順序也納入考量，因此 r 個位置中的每一個都擁有完整的 n 種選擇。排列的總數即為 $$P = n^r$$。

有放回時，每次選取都來自全部 n 個元素，且順序很重要。

如何使用本計算機

請輸入兩個數值：n 代表可供選取的相異元素個數，r 則是你想填入的位置數量（也就是選取的次數）。計算機會立即算出 n 的 r 次方，並顯示所有可能有序排列的總數。

公式詳解

這條規則來自乘法原理。第一個位置有 n 種選擇；由於元素會被放回，第二個位置同樣有 n 種選擇，依此類推直到第 r 個位置。將它們相乘即得 \(n \times n \times \ldots \times n\)（共 r 個）＝ \(n^r\)。這一點與「不可重複」的排列不同——在不可重複的情況下，每選一次都會讓剩餘的可選元素減少。

r 個位置中每個位置都獨立地有 n 種選擇，即 n 自乘 r 次。

實例演練

一組 4 位數的 PIN 碼使用 0–9 的數字，而且數字可以重複。此時 \(n = 10\)、\(r = 4\)，因此 $$P = 10^4 = 10{,}000$$ 種可能的 PIN 碼。同理，從 26 個小寫英文字母中、允許重複地組成 3 個字元的密碼，則有 \(26^3 = 17{,}576\) 種組合。

常見問題

這和組合有什麼不同？組合不在意順序，排列則會計入順序。「AB」與「BA」是兩種不同的排列，卻是同一種組合。

如果 r 比 n 大怎麼辦？在可重複的情況下完全沒問題——因為每個元素都能重複使用，所以選取的次數可以多於相異元素的個數，例如 \(2^5 = 32\)。

\(n^0\) 等於多少？任何非零的 n 的 0 次方都等於 1：因為「什麼都不選」恰好只有一種方式（即空排列）。