पुनरावृत्ति के साथ क्रमचय क्या है?
पुनरावृत्ति के साथ क्रमचय (जिसे दोहराव के साथ क्रमचय भी कहते हैं) उन क्रमबद्ध व्यवस्थाओं की संख्या गिनता है जिन्हें आप तब बना सकते हैं जब हर चयन को अगली बार चुनने से पहले वापस समूह में रख दिया जाए। चूँकि वस्तुएँ दोहराई जा सकती हैं और क्रम मायने रखता है, इसलिए हर एक r स्थान के लिए पूरी n वस्तुएँ उपलब्ध रहती हैं। इसी कारण कुल व्यवस्थाओं की संख्या होती है $$P = n^r$$।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
दो मान दर्ज करें: n, यानी उपलब्ध अलग-अलग वस्तुओं की संख्या, और r, यानी जितने स्थान या चयन आप भरना चाहते हैं उनकी संख्या। कैलकुलेटर तुरंत n की r घात निकालकर सभी संभव क्रमबद्ध अनुक्रमों की कुल संख्या दिखा देता है।
सूत्र की व्याख्या
यह नियम गुणन सिद्धांत (multiplication principle) से आता है। पहले स्थान के लिए आपके पास n विकल्प हैं; चूँकि वस्तु वापस समूह में रख दी जाती है, इसलिए दूसरे स्थान के लिए भी फिर से n विकल्प होते हैं, और इसी तरह सभी r स्थानों के लिए। इन्हें गुणा करने पर मिलता है \(n \times n \times \cdots \times n\) (r बार) \(= n^r\)। यह बिना पुनरावृत्ति वाले क्रमचय से अलग है, जहाँ हर चयन के बाद बचे हुए विकल्प घटते जाते हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
एक 4-अंकों का PIN अंक 0–9 का उपयोग करता है और अंक दोहराए जा सकते हैं। यहाँ n = 10 और r = 4, इसलिए $$P = 10^4 = 10{,}000$$ संभव PIN बनते हैं। इसी प्रकार, 26 छोटे (lowercase) अक्षरों में से दोहराव की अनुमति के साथ बना 3-अक्षरों का पासवर्ड \(26^3 = 17{,}576\) संयोजन देता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यह संचय (combination) से किस तरह अलग है? संचय में क्रम मायने नहीं रखता, जबकि क्रमचय में क्रम गिना जाता है। "AB" और "BA" दो अलग-अलग क्रमचय हैं, पर एक ही संचय हैं।
अगर r, n से बड़ा हो तो क्या होगा? पुनरावृत्ति के साथ यह बिल्कुल ठीक है — आप अलग-अलग वस्तुओं की संख्या से अधिक बार भी चयन कर सकते हैं, क्योंकि हर वस्तु को दोबारा इस्तेमाल किया जा सकता है, जैसे \(2^5 = 32\)।
\(n^0\) का मान क्या होता है? किसी भी शून्येतर (non-zero) n की 0 घात 1 होती है: कुछ भी न चुनने का ठीक एक ही तरीका है (खाली व्यवस्था)।
