Что такое размещение с повторениями?
Размещение с повторениями (его также называют размещением с возвращением) — это количество упорядоченных выборок, которые можно составить, если после каждого выбора элемент возвращается обратно в набор. Поскольку элементы могут повторяться, а порядок важен, на каждой из r позиций доступны все n вариантов. Поэтому общее число выборок равно \(P = n^r\).
Как пользоваться калькулятором
Введите два значения: n — количество различных элементов в наборе, и r — число позиций или выборов, которые нужно заполнить. Калькулятор мгновенно возведёт n в степень r и покажет общее число возможных упорядоченных последовательностей.
Разбор формулы
Это правило вытекает из принципа умножения. На первую позицию у вас n вариантов; так как элемент возвращается обратно, на вторую позицию снова приходится n вариантов — и так для всех r позиций. Перемножая, получаем $$n \times n \times \cdots \times n \ (r \text{ раз}) = n^r.$$ Это отличается от размещений без повторений, где каждый выбор уменьшает оставшийся набор.
Пример с решением
Четырёхзначный PIN-код состоит из цифр 0–9, причём цифры могут повторяться. Здесь \(n = 10\) и \(r = 4\), поэтому $$P = 10^4 = 10\,000$$ возможных PIN-кодов. Аналогично, трёхсимвольный пароль из 26 строчных латинских букв с повторениями даёт $$26^3 = 17\,576$$ вариантов.
Частые вопросы
Чем это отличается от сочетания? В сочетаниях порядок не учитывается, а в размещениях — учитывается. «AB» и «BA» — это два разных размещения, но одно и то же сочетание.
Что если r больше n? С повторениями это вполне нормально — можно выбирать больше раз, чем есть различных элементов, ведь каждый элемент допускается использовать снова, например \(2^5 = 32\).
Чему равно \(n^0\)? Любое ненулевое n в степени 0 равно 1: существует ровно один способ не выбрать ничего (пустая выборка).
