Что такое перестановка?
Перестановка (точнее — размещение) — это способ упорядочить элементы, при котором важен порядок. Формула \(P(n,r)\) показывает, сколькими разными упорядоченными способами можно выбрать r элементов из набора в n различных элементов. В отличие от сочетаний, если поменять местами два выбранных элемента, получится новое, отличное размещение.
Как пользоваться калькулятором
Введите общее количество различных элементов (n) и число элементов, которые нужно выбрать и упорядочить (r). Калькулятор сразу выдаст количество размещений. Учтите, что r должно быть меньше либо равно n: если r больше n, результат равен 0, ведь нельзя выбрать больше элементов, чем есть в наличии.
Разбор формулы
Формула размещений:
$$P(n,r) = \frac{n!}{(n - r)!}$$где «!» обозначает факториал (произведение всех натуральных чисел до данного включительно). На практике она сводится к перемножению r последовательно убывающих чисел, начиная с n: \(n \times (n-1) \times \ldots \times (n-r+1)\). Так не приходится вычислять огромные факториалы напрямую.
Пример с решением
Допустим, в клубе 5 человек, и нужно выбрать председателя и заместителя — то есть выбрать и упорядочить 2 человек из 5. Тогда
$$P(5,2) = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = \frac{120}{6} = 20$$Значит, возможно 20 упорядоченных вариантов.
Частые вопросы
Чем размещение отличается от сочетания? В размещениях порядок важен, в сочетаниях — нет. Значение \(P(n,r)\) всегда больше либо равно \(C(n,r)\).
Чему равно \(P(n,0)\)? Единице — существует ровно один способ разместить ноль элементов (пустое размещение).
Чему равно \(P(n,n)\)? Это \(n!\) — число способов упорядочить все n элементов.
