Qu'est-ce qu'une permutation ?
Une permutation est un arrangement d'éléments dans lequel l'ordre compte. La formule des permutations \(P(n,r)\) indique de combien de façons ordonnées différentes vous pouvez sélectionner r éléments parmi un ensemble de n éléments distincts. Contrairement aux combinaisons, échanger la position de deux éléments choisis donne une nouvelle permutation, considérée comme distincte.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le nombre total d'éléments distincts (n) et le nombre d'éléments que vous souhaitez choisir et ordonner (r). Le calculateur affiche aussitôt le nombre de permutations. Attention : r doit être inférieur ou égal à n. Si r dépasse n, le résultat est 0, car on ne peut pas sélectionner plus d'éléments qu'il n'en existe.
La formule expliquée
La formule des permutations est $$P(n,r) = \frac{\text{n}!}{\left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$ où « ! » désigne la factorielle (le produit de tous les entiers positifs jusqu'à ce nombre). En pratique, elle se simplifie en un produit de r entiers consécutifs décroissants à partir de n : \(n \times (n-1) \times \ldots \times (n-r+1)\). On évite ainsi de calculer directement d'énormes factorielles.
Exemple concret
Imaginons un club de 5 membres qui doit élire un président et un vice-président — autrement dit, choisir et ordonner 2 personnes parmi 5. On a alors $$P(5,2) = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = \frac{120}{6} = 20.$$ Il existe donc 20 résultats ordonnés possibles.
FAQ
Quelle différence entre une permutation et une combinaison ? Dans une permutation, l'ordre compte ; dans une combinaison, non. \(P(n,r)\) est toujours supérieur ou égal à \(C(n,r)\).
Que vaut \(P(n,0)\) ? Cela vaut 1 — il existe exactement une seule façon d'arranger zéro élément (l'arrangement vide).
Que vaut \(P(n,n)\) ? Cela vaut \(n!\), soit le nombre de façons d'ordonner l'ensemble des n éléments.
