순열이란?
순열은 순서를 고려해서 항목을 배열하는 방법을 말합니다. 순열 공식 \(P(n,r)\)은 서로 다른 n개의 항목으로 이루어진 집합에서 r개를 골라 순서대로 나열하는 방법이 몇 가지인지 알려 줍니다. 조합과 달리, 선택한 두 항목의 자리를 서로 바꾸면 그것은 또 다른 새로운 순열로 셉니다.
계산기 사용법
서로 다른 전체 항목 수(n)와, 그중에서 골라 배열하려는 항목 수(r)를 입력하세요. 그러면 순열의 경우의 수가 곧바로 나타납니다. 단, r은 반드시 n보다 작거나 같아야 합니다. 만약 r이 n을 넘어서면 결과는 0이 되는데, 가진 것보다 더 많은 항목을 고를 수는 없기 때문입니다.
공식 자세히 보기
순열 공식은 다음과 같습니다.
$$P(n,r) = \frac{\text{n}!}{\left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$여기서 "!"는 팩토리얼을 뜻하며, 1부터 그 수까지의 모든 자연수를 곱한 값입니다. 실제로는 n부터 시작해 1씩 줄어드는 정수 r개를 곱하는 것으로 간단해집니다. 즉 \(n \times (n-1) \times \ldots \times (n-r+1)\)이며, 이렇게 하면 엄청나게 큰 팩토리얼을 직접 계산하지 않아도 됩니다.
예제 풀이
예를 들어 어떤 동아리에 회원이 5명 있고, 그중에서 회장과 부회장을 뽑는다고 해 봅시다. 즉 5명 중에서 2명을 골라 순서를 정하는 경우입니다. 이때 다음과 같이 계산됩니다.
$$P(5,2) = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = \frac{120}{6} = 20$$따라서 순서를 고려한 경우의 수는 20가지입니다.
자주 묻는 질문
순열과 조합은 어떻게 다른가요? 순열은 순서를 따지지만, 조합은 순서를 따지지 않습니다. 그래서 \(P(n,r)\)은 항상 \(C(n,r)\)보다 크거나 같습니다.
P(n,0)은 얼마인가요? 1입니다. 0개를 배열하는 방법은 아무것도 배열하지 않는 단 한 가지(빈 배열)뿐이기 때문입니다.
P(n,n)은 얼마인가요? \(n!\)과 같습니다. n개의 항목 전체를 순서대로 배열하는 모든 경우의 수를 뜻합니다.
