P-Hat(표본비율)이란?
P-Hat(기호로는 \(\hat{p}\))은 표본비율을 뜻합니다. 즉, 표본 가운데 특정 특성을 갖거나 '성공'에 해당하는 항목이 차지하는 비율이죠. 이는 우리가 알지 못하는 모비율 \(p\)를 추정하는 점추정값입니다. 계산은 간단합니다. 성공 횟수(\(x\))를 전체 표본 크기(\(n\))로 나누면 됩니다. 여론조사, 품질관리, 생물학, 의학, 학교 통계 수업 등 분야를 가리지 않고 두루 활용할 수 있습니다.
계산기 사용법
값 두 개만 입력하면 됩니다. 성공 횟수 x(표본에서 조건을 만족하는 항목의 수)와 표본 크기 n(전체 관측 개수)을 넣어 보세요. 계산기는 소수로 표현한 \(\hat{p}\), 같은 값을 백분율로 환산한 값, 그리고 여비율 \(\hat{q} = 1 - \hat{p}\)(실패의 비율)를 함께 보여 줍니다.
공식 풀이
공식은 아주 단순한 다음과 같습니다.
$$\hat{p} = \frac{\text{Successes }(x)}{\text{Sample Size }(n)}$$\(x\)는 결코 \(n\)을 넘을 수 없으므로 \(\hat{p}\)은 항상 0과 1 사이의 값을 가집니다. 여기에 100을 곱하면 백분율로 읽을 수 있습니다. 여비율 \(\hat{q} = 1 - \hat{p}\)은 신뢰구간이나 표준오차 공식에서 요긴하게 쓰이는데, \(\hat{p}\)의 표준오차는 \(\sqrt{\hat{p}\cdot\hat{q} / n}\)으로 계산합니다.
예제로 살펴보기
예를 들어 n = 100명을 대상으로 한 설문에서 x = 40명이 어떤 안건에 찬성했다고 합시다. 그러면 $$\hat{p} = \frac{40}{100} = 0.40$$ 즉 40%가 됩니다. 여비율 \(\hat{q} = 1 - 0.40 = 0.60\)이므로, 60%는 찬성하지 않는다는 의미입니다.
자주 묻는 질문
p와 p̂의 차이는 무엇인가요? \(p\)는 (대개 알 수 없는) 실제 모비율이고, \(\hat{p}\)은 표본에서 계산해 낸 추정값입니다.
p̂이 1보다 클 수 있나요? 아니요. 성공 횟수가 표본 크기를 넘을 수 없으므로 \(\hat{p}\)은 언제나 0과 1 사이입니다.
q̂은 왜 중요한가요? \(\hat{q} = 1 - \hat{p}\)은 비율에 대한 표준오차와 신뢰구간 공식에 등장하기 때문에, \(\hat{p}\)과 함께 자주 표시됩니다.
