중복순열이란?
중복순열은 서로 다른 n개의 항목으로 이루어진 집합에서 r개를 골라 나열할 때, 같은 항목을 몇 번이든 다시 사용할 수 있는 경우의 수를 세는 방법입니다. 순서를 따지고 중복도 허용하기 때문에 경우의 수가 매우 빠르게 늘어나며, 간단한 거듭제곱 공식 $$P = \text{n}^{\,\text{r}}$$을 따릅니다.
계산기 사용법
두 가지 값을 입력하세요. n은 사용할 수 있는 서로 다른 항목의 수입니다(예: 0~9까지의 숫자 10개). r은 채워야 할 자리, 즉 선택 횟수입니다(예: 4자리 PIN 번호). 그러면 계산기가 순서를 고려한 전체 경우의 수인 \(\text{n}^{\,\text{r}}\)을 즉시 알려줍니다.
공식 풀이
r개의 각 자리에는 n개의 항목 중 무엇이든 독립적으로 들어갈 수 있습니다. 곱의 법칙에 따라 각 자리의 선택지를 모두 곱하면 \(\text{n} \times \text{n} \times \ldots \times \text{n}\)(r번) \(= \text{n}^{\,\text{r}}\)이 됩니다. 이는 각 항목을 한 번씩만 쓸 수 있는 중복 없는 순열(\(\frac{\text{n}!}{(\text{n}-\text{r})!}\))과는 다른 개념입니다.
예제로 살펴보기
0~9까지의 숫자로 만들 수 있는 4자리 PIN 번호는 몇 가지일까요? 여기서 \(\text{n} = 10\), \(\text{r} = 4\)이므로 $$P = 10^{4} = 10{,}000$$가지의 PIN이 가능합니다. 마찬가지로 알파벳 26자로 만드는 3자리 비밀번호는 \(26^{3} = 17{,}576\)가지가 됩니다.
자주 묻는 질문
중복은 언제 적용하나요? PIN의 숫자, 비밀번호의 문자, 주사위를 여러 번 던지는 경우처럼 같은 항목이 두 번 이상 나타날 수 있을 때 사용합니다.
r = 0이면 어떻게 되나요? 약속에 따라 \(\text{n}^{0} = 1\)입니다. 즉 아무것도 고르지 않은 빈 선택이라는 배열이 정확히 한 가지 존재합니다.
조합과는 어떻게 다른가요? 조합은 순서를 따지지 않지만, 순열은 순서가 다른 배열을 각각 다른 경우로 세기 때문에 결과가 더 커집니다.
