조합 계산기란?
이 계산기는 순서를 따지지 않고 n개의 집합에서 r개를 뽑을 때 서로 다른 묶음이 몇 가지나 나오는지 계산해 줍니다. 이 경우의 수를 \(C(n, r)\)로 표기하며 "n개에서 r개를 뽑는다"라고 읽습니다. 로또 당첨 확률, 카드 패 계산, 위원회 구성, 각종 확률 문제까지 어디서나 쓰이는 개념입니다.
사용 방법
전체 항목의 개수(n)와 그중 뽑을 개수(r)를 입력하세요. 계산기는 순서를 고려하지 않는 선택의 가짓수인 \(C(n, r)\)을 알려 주고, 비교를 위해 순서를 고려한 배열의 가짓수인 \(P(n, r)\)도 함께 보여 줍니다. 만약 r이 n보다 크면 결과는 0이 됩니다. 존재하는 개수보다 더 많이 뽑을 수는 없기 때문입니다.
공식 풀이
조합 공식은 $$C(n, r) = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$$ 입니다. 여기서 \(n!\)("n 팩토리얼")은 1부터 n까지 모든 자연수를 곱한 값입니다. \(r!\)로 나누는 이유는 중복되는 순서를 제거하기 위해서이고(조합은 순서를 무시합니다), \((n - r)!\)로 나누는 것은 뽑히지 않고 남은 항목들을 고려하기 위함입니다. 순열은 \(P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}\) 공식을 쓰며, 순서를 유지하기 때문에 더 많은 경우의 수를 셉니다. 즉, \(P(n, r) = C(n, r) \times r!\) 의 관계가 성립합니다.
예제로 이해하기
5명 중에서 2명으로 구성된 팀을 몇 개나 만들 수 있을까요? $$C(5, 2) = \frac{5!}{2!\,\cdot\,3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = \frac{120}{12} = \mathbf{10}$$ 가능한 짝은 모두 10가지입니다. 반면 순서가 중요할 경우(예: 먼저 뽑힌 사람이 팀장, 다음이 부팀장) \(P(5, 2) = \frac{5!}{3!} = 20\) 이 됩니다.
자주 묻는 질문
조합과 순열은 어떻게 다른가요? 조합은 순서를 무시합니다(\(\{A, B\} = \{B, A\}\)). 순열은 순서를 구분해서 셉니다(\(\{A, B\} \neq \{B, A\}\)).
\(C(n, 0)\)은 얼마인가요? 항상 1입니다. 아무것도 뽑지 않는 방법은 정확히 한 가지뿐이기 때문입니다.
r과 n이 같아도 되나요? 됩니다. \(C(n, n) = 1\) 이며, 이는 집합 전체를 통째로 뽑는 단 하나의 방법을 뜻합니다.
