ما هي حاسبة التوافيق الممكنة؟
تحسب هذه الأداة عدد المجموعات المختلفة المكوّنة من r عنصر التي يمكنك اختيارها من مجموعة تحتوي على n عنصر عندما لا يهم الترتيب. ويُكتب عدد التوافيق على الصورة \(C(n, r)\)، ويُقرأ "اختيار r من n"، وهو يظهر في كل مكان: من حساب احتمالات اليانصيب وتوزيعات أوراق اللعب، إلى اختيار أعضاء اللجان ومسائل الاحتمالات.
كيفية الاستخدام
أدخل العدد الإجمالي للعناصر المتاحة (n) وعدد العناصر التي تريد اختيارها (r). تُرجِع الحاسبة قيمة \(C(n, r)\)، أي عدد الاختيارات غير المرتّبة، كما تعرض أيضًا \(P(n, r)\)، أي عدد الترتيبات المرتّبة، للمقارنة. وإذا كان r أكبر من n فإن الناتج يساوي 0، لأنه لا يمكنك اختيار عدد من العناصر أكبر من العدد الموجود فعلاً.
شرح القانون
قانون التوافيق هو $$C(\text{n}, \text{r}) = \frac{\text{n}!}{\text{r}!\,\left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$ وهنا \(n!\) (ويُقرأ "مضروب n") هو حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة من 1 إلى n. والقسمة على \(r!\) تُلغي الترتيبات المكرّرة (لأن التوافيق تتجاهل الترتيب)، بينما القسمة على \((n - r)!\) تراعي العناصر المتبقية التي لم تُختَر. أما التباديل فتُحسب بالقانون $$P(\text{n}, \text{r}) = \frac{\text{n}!}{\left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$ وهو يأخذ الترتيب في الاعتبار ولذلك ينتج عنه عدد أكبر من الترتيبات: \(P(n, r) = C(n, r) \times r!\).
مثال محلول
كم فريقًا مكوّنًا من شخصين يمكن تكوينه من 5 أشخاص؟ $$C(5, 2) = \frac{5!}{2!\,\cdot\,3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = \frac{120}{12} = \mathbf{10}$$ أي هناك 10 أزواج ممكنة. وفي المقابل، نجد أن \(P(5, 2) = \frac{5!}{3!} = 20\)، لأن الترتيب هنا يكون مهمًا (مثل اختيار قائد ثم نائب له).
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين التوافيق والتباديل؟ التوافيق تتجاهل الترتيب ({A، B} = {B، A})، أما التباديل فتأخذ الترتيب في الحسبان ({A، B} ≠ {B، A}).
ما قيمة \(C(n, 0)\)؟ دائمًا 1 — لأن هناك طريقة واحدة فقط لاختيار لا شيء.
هل يمكن أن يساوي r قيمة n؟ نعم. \(C(n, n) = 1\)، وهي الطريقة الوحيدة لأخذ المجموعة كاملة.
