ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة كلًّا من التباديل (nPr) والتوافيق (nCr) لمجموعة عناصر إجمالية عددها n تختار منها r عنصرًا. تعدّ التباديل عدد الترتيبات التي يُؤخذ فيها الترتيب بعين الاعتبار، بينما تعدّ التوافيق الاختيارات التي لا يهمّ فيها الترتيب. كما تعرض الحاسبة قيمة مضروب n لمزيد من التوضيح.
طريقة الاستخدام
أدخِل العدد الإجمالي للعناصر n ثم عدد العناصر التي تختارها r، بحيث يكون \(0 \le r \le n\). اضغط على زر الحساب لتظهر لك قيمتا nPr و nCr. وإذا كانت r أكبر من n فستكون النتيجة 0، إذ لا يمكنك اختيار عدد من العناصر يفوق العدد المتاح فعليًّا.
شرح الصيغة الرياضية
مضروب العدد n، ويُرمز له بـ n!، هو حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة حتى n (مثال: \(5! = 5\times4\times3\times2\times1 = 120\)). تُحسب التباديل بالصيغة $$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$ وفيها يهمّ الترتيب، فتبديل عنصرين مختارين يُعدّ ترتيبًا مختلفًا. أما التوافيق فتُحسب بالصيغة $$C(n,r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$ وفيها نقسم على \(r!\) لإزالة الترتيبات المكرّرة، لأنّ الترتيب لا يهمّ هنا.
مثال محلول
لنفترض أنّ \(n = 5\) وأنّ \(r = 2\). عندئذٍ يكون عدد التباديل $$P(5,2) = \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$$ زوجًا مرتّبًا. أما عدد التوافيق فهو $$C(5,2) = \frac{5!}{2! \times 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10$$ أزواج غير مرتّبة. لاحظ أنّ nPr دائمًا أكبر من أو يساوي nCr، لأنّ كل توافيقة يمكن ترتيبها بـ \(r!\) طريقة مختلفة.
الأسئلة الشائعة
متى أستخدم التباديل ومتى أستخدم التوافيق؟ استخدم التباديل عندما يكون الترتيب مهمًّا (مثل الترتيب التنافسي، وكلمات المرور، ومراكز الوصول في السباقات)، واستخدم التوافيق عندما لا يكون الترتيب مهمًّا (مثل أرقام اليانصيب، وتشكيل اللجان، وأوراق اللعب في اليد).
ماذا لو كانت \(r = 0\)؟ تكون قيمة كلٍّ من nPr و nCr مساوية للواحد، فهناك طريقة واحدة فقط لاختيار «لا شيء».
ما أكبر قيمة مسموح بها لـ n؟ تنمو قيم المضروب بسرعة هائلة، لذلك تدعم هذه الحاسبة قيمة n حتى 170 قبل تجاوز نطاق الأعداد ذات الفاصلة العائمة.
