이 계산기는 무엇을 하나요?
이 도구는 전체 n개 중에서 r개를 고를 때의 순열(nPr)과 조합(nCr)을 모두 계산합니다. 순열은 순서를 고려한 배열의 수를, 조합은 순서를 고려하지 않은 선택의 수를 나타냅니다. 또한 참고용으로 n의 팩토리얼 값도 함께 보여줍니다.
사용 방법
전체 항목의 개수 n과 선택할 개수 r을 입력하세요. 이때 \(0 \le r \le n\)이어야 합니다. 계산 버튼을 누르면 nPr과 nCr 값이 표시됩니다. 만약 r이 n보다 크면 존재하는 것보다 더 많이 고를 수 없으므로 결과는 0이 됩니다.
공식 풀이
팩토리얼 \(n!\)은 1부터 n까지의 모든 양의 정수를 곱한 값입니다(예: \(5! = 5\times4\times3\times2\times1 = 120\)). 순열은 $$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$ 로 구하며, 순서가 중요하기 때문에 고른 두 항목의 자리를 바꾸면 다른 배열로 셉니다. 조합은 $$C(n,r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$ 로 구하는데, 순서를 따지지 않으므로 \(r!\)로 나누어 중복되는 순서를 제거합니다.
계산 예시
n = 5, r = 2인 경우를 살펴보겠습니다. 순열은 $$P(5,2) = \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$$ 가지 순서 있는 쌍이 됩니다. 조합은 $$C(5,2) = \frac{5!}{2!\times3!} = \frac{120}{2\times6} = \frac{120}{12} = 10$$ 가지 순서 없는 쌍이 됩니다. 모든 조합은 \(r!\)가지 방식으로 순서를 매길 수 있으므로 nPr은 항상 nCr보다 크거나 같습니다.
자주 묻는 질문
순열과 조합은 언제 구분해서 쓰나요? 순서가 중요할 때는 순열을 사용합니다(예: 순위 매기기, 비밀번호, 경주 순위). 순서가 중요하지 않을 때는 조합을 사용합니다(예: 로또 번호, 위원회 구성, 카드 패).
r = 0이면 어떻게 되나요? 아무것도 고르지 않는 방법은 정확히 한 가지뿐이므로 nPr과 nCr 모두 1이 됩니다.
n은 최대 얼마까지 입력할 수 있나요? 팩토리얼은 매우 빠르게 커지기 때문에, 이 계산기는 부동소수점 범위를 넘지 않는 선에서 n을 170까지 지원합니다.
