Công Cụ Này Làm Gì
Công cụ này tính cả hoán vị (nPr) và tổ hợp (nCr) cho một tập gồm n phần tử, trong đó bạn chọn ra r phần tử. Hoán vị đếm số cách sắp xếp có thứ tự, còn tổ hợp đếm số cách chọn không quan tâm thứ tự. Máy tính cũng hiển thị giai thừa của n để bạn tiện tham khảo.
Cách Sử Dụng
Nhập tổng số phần tử n và số phần tử bạn muốn chọn r, với điều kiện \(0 \le r \le n\). Bấm "Tính" để xem kết quả nPr và nCr. Nếu r lớn hơn n, kết quả sẽ là 0, vì bạn không thể chọn nhiều phần tử hơn số phần tử thực có.
Giải Thích Công Thức
Giai thừa n! là tích của tất cả các số nguyên dương từ 1 đến n (ví dụ \(5! = 5\times4\times3\times2\times1 = 120\)). Hoán vị được tính bằng $$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$ — thứ tự quan trọng, nên việc hoán đổi hai phần tử đã chọn sẽ tạo ra một cách sắp xếp khác. Tổ hợp được tính bằng $$C(n,r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$ — phép chia cho r! loại bỏ các thứ tự trùng lặp, bởi vì với tổ hợp thì thứ tự không còn ý nghĩa.
Ví Dụ Cụ Thể
Giả sử \(n = 5\) và \(r = 2\). Khi đó $$P(5,2) = \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$$ cặp có thứ tự. Còn $$C(5,2) = \frac{5!}{2! \times 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10$$ cặp không thứ tự. Bạn có thể thấy nPr luôn lớn hơn hoặc bằng nCr, vì mỗi tổ hợp có thể được sắp xếp theo r! cách khác nhau.
Câu Hỏi Thường Gặp
Khi nào nên dùng hoán vị, khi nào nên dùng tổ hợp? Dùng hoán vị khi thứ tự quan trọng (ví dụ xếp hạng, mật khẩu, thứ hạng về đích trong cuộc đua) và dùng tổ hợp khi thứ tự không quan trọng (ví dụ chọn số xổ số, lập ban đại diện, chia bài).
Nếu \(r = 0\) thì sao? Cả nPr và nCr đều bằng 1 — có đúng một cách để "không chọn gì cả".
Giá trị n lớn nhất được phép là bao nhiêu? Giai thừa tăng rất nhanh, nên máy tính này hỗ trợ n tối đa là 170 trước khi vượt quá giới hạn của số dấu phẩy động (floating-point).
