यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी n कुल वस्तुओं में से r चुनने पर क्रमचय (nPr) और संचय (nCr) दोनों की गणना करता है। क्रमचय यानी क्रमबद्ध व्यवस्थाओं की संख्या, जबकि संचय यानी बिना क्रम वाले चयनों की संख्या। साथ ही यह कैलकुलेटर संदर्भ के लिए n का फैक्टोरियल भी दिखाता है।
इसका उपयोग कैसे करें
कुल वस्तुओं की संख्या n और चुनी जाने वाली संख्या r दर्ज करें, जहाँ \(0 \le r \le n\) हो। nPr और nCr देखने के लिए गणना करें पर क्लिक करें। यदि r, n से बड़ा है तो परिणाम 0 आएगा, क्योंकि जितनी वस्तुएं मौजूद ही नहीं हैं उनसे ज़्यादा आप चुन नहीं सकते।
सूत्र की व्याख्या
फैक्टोरियल \(n!\) का अर्थ है n तक के सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल (उदाहरण के लिए \(5! = 5\times4\times3\times2\times1 = 120\))। क्रमचय का सूत्र है $$nPr = \frac{n!}{(n - r)!}$$ — यहाँ क्रम मायने रखता है, इसलिए दो चुनी हुई वस्तुओं की अदला-बदली भी एक अलग व्यवस्था मानी जाती है। संचय का सूत्र है $$nCr = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$$ — \(r!\) से भाग देने पर दोहराए गए क्रम हट जाते हैं, क्योंकि यहाँ क्रम का कोई महत्व नहीं होता।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(n = 5\) और \(r = 2\) है। तब $$nPr = \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$$ क्रमबद्ध जोड़े होंगे। और $$nCr = \frac{5!}{2! \times 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10$$ बिना-क्रम जोड़े होंगे। ध्यान दें कि nPr हमेशा nCr के बराबर या उससे बड़ा होता है, क्योंकि हर संचय को \(r!\) तरीकों से क्रमबद्ध किया जा सकता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्रमचय और संचय में से कब किसका उपयोग करें? जब क्रम मायने रखता हो तब क्रमचय का उपयोग करें (जैसे रैंकिंग, पासवर्ड, रेस में स्थान), और जब क्रम मायने न रखता हो तब संचय का (जैसे लॉटरी की चयन, समितियाँ, ताश के पत्तों का हाथ)।
अगर \(r = 0\) हो तो? तब nPr और nCr दोनों 1 के बराबर होते हैं — कुछ भी न चुनने का ठीक एक ही तरीका होता है।
n का अधिकतम मान कितना हो सकता है? फैक्टोरियल बहुत तेज़ी से बढ़ते हैं, इसलिए यह कैलकुलेटर फ्लोटिंग-पॉइंट सीमा से अधिक होने से पहले n को 170 तक सपोर्ट करता है।
