विषम क्रमचय कैलकुलेटर

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तत्वों की संख्या (n):

परिणाम

विषम क्रमचयों की संख्या

60

तत्वों की संख्या (n)	5
कुल क्रमचय	120
सम क्रमचय	60

विषम क्रमचय कैलकुलेटर क्या है?

समूह सिद्धांत (group theory) और संचय-क्रमचय (combinatorics) में किसी सेट के हर क्रमचय (permutation) को सम (even) या विषम (odd) में बाँटा जाता है। यह इस बात पर निर्भर करता है कि उसे दो तत्वों की अदला-बदली (transposition) के सम या विषम संख्या में लिखा जा सकता है या नहीं। यह कैलकुलेटर बताता है कि n भिन्न तत्वों वाले सेट में कितने विषम क्रमचय होते हैं। आपको बस एक ही मान भरना है — तत्वों की संख्या (n) — और यह विषम क्रमचयों की गिनती के साथ-साथ कुल क्रमचयों और सम क्रमचयों की संख्या भी दिखा देता है, ताकि पूरा संदर्भ स्पष्ट रहे।

किसी समुच्चय के सभी क्रमचय सम और विषम क्रमचयों में बराबर बँट जाते हैं।

सूत्र

n भिन्न तत्वों वाले किसी भी सेट के लिए (जहाँ n ≥ 2), ठीक आधे क्रमचय विषम होते हैं और आधे सम। कुल क्रमचयों की संख्या n! होती है, इसलिए विषम क्रमचयों की संख्या इस प्रकार है:

विषम क्रमचय = n! / 2

• कुल क्रमचय = n! (सभी संभव क्रम)
• विषम क्रमचय = n! / 2
• सम क्रमचय = n! − (n! / 2) = n! / 2

यह कैलकुलेटर 1 से लेकर 1,000 तक के धनात्मक पूर्णांक स्वीकार करता है और बिग-इंटीजर अंकगणित का उपयोग करता है, इसलिए यह बहुत बड़े फैक्टोरियल परिणामों को बिना ओवरफ्लो के आसानी से संभाल लेता है।

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विषम क्रमचयों की संख्या n फैक्टोरियल की आधी होती है।

इसका उपयोग कैसे करें

• इनपुट बॉक्स में तत्वों की संख्या n भरें (उदाहरण के लिए, 5)।
• सबमिट करते ही विषम क्रमचयों की संख्या तुरंत दिख जाएगी।
• परिणाम में कुल और सम क्रमचयों की संख्या भी दिखती है, ताकि आप 50/50 के बँटवारे की पुष्टि कर सकें।

ध्यान दें: इनपुट 1,000 या उससे कम का धनात्मक पूर्ण संख्या होना चाहिए। ऋणात्मक संख्या, शून्य, दशमलव या गैर-संख्यात्मक टेक्स्ट डालने पर त्रुटि (error) दिखेगी।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए n = 5। पहले कुल क्रमचय निकालें: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120। फिर इसे 2 से भाग दें:

विषम क्रमचय = 120 / 2 = 60

सम क्रमचय भी 120 − 60 = 60 ही होंगे। यानी 5 तत्वों के सेट में 60 विषम और 60 सम क्रमचय होते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

उत्तर हमेशा ठीक n! का आधा ही क्यों होता है? n ≥ 2 के लिए, सम क्रमचयों का समूह 'अल्टरनेटिंग ग्रुप' (alternating group) बनाता है, जिसमें पूरे सममित समूह (symmetric group) के ठीक आधे तत्व होते हैं। बाकी आधे विषम होते हैं।

n = 1 के लिए क्या होगा? एक ही तत्व का केवल एक क्रमचय होता है (आइडेंटिटी), जो सम माना जाता है। सूत्र 1! / 2 = 0 यही दर्शाता है कि n = 1 होने पर कोई विषम क्रमचय नहीं होता।

अधिकतम इनपुट 1,000 ही क्यों है? फैक्टोरियल बेहद तेज़ी से बढ़ते हैं। n को 1,000 पर सीमित रखने से गणना व्यावहारिक बनी रहती है, और साथ ही यह रोज़मर्रा की किसी भी संचय-क्रमचय समस्या से कहीं ज़्यादा को कवर कर लेता है।