पुनरावृत्ति सहित क्रमचय क्या होता है?
पुनरावृत्ति सहित क्रमचय यह गिनता है कि n अलग-अलग वस्तुओं में से चुनकर r क्रमबद्ध स्थानों को कितने तरीकों से भरा जा सकता है, जबकि हर वस्तु एक से ज़्यादा बार इस्तेमाल की जा सकती है। इसे \({}^{n}\Pi_{r}\) लिखा जाता है। चूँकि यहाँ क्रम मायने रखता है और दोहराव की अनुमति है, इसलिए हर स्थान के लिए चुनाव स्वतंत्र रूप से सभी n वस्तुओं में से होता है। यह शुद्ध गणित का सिद्धांत है और दुनिया भर में एक समान लागू होता है।
सूत्र
कुल व्यवस्थाओं की संख्या बस n को घात r तक बढ़ाने से मिलती है:
$${}^{n}\Pi_{r} = \text{n}^{\,\text{r}}$$
यह गुणन सिद्धांत (multiplication principle) से निकलता है: पहले स्थान के लिए n विकल्प होते हैं, दूसरे स्थान के लिए भी n विकल्प (क्योंकि दोहराव की अनुमति है), और इसी तरह सभी r स्थानों के लिए, जिससे \(n \times n \times \ldots \times n = n^{r}\) मिलता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
n दर्ज करें, यानी उपलब्ध अलग-अलग वस्तुओं की संख्या, और r दर्ज करें, यानी भरे जाने वाले स्थानों की संख्या (हर क्रमबद्ध अनुक्रम की लंबाई)। दोनों मान अऋणात्मक पूर्णांक होने चाहिए। चूँकि दोहराव की अनुमति है, इसलिए r का मान n से बड़ा भी हो सकता है। कैलकुलेटर अनंत-परिशुद्धता अंकगणित (arbitrary-precision arithmetic) से सटीक पूर्णांक परिणाम देता है, इसलिए बहुत बड़े नतीजे भी पूरी सटीकता के साथ दिखाए जाते हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लें \(n = 5\) अलग-अलग वस्तुएँ और \(r = 3\) स्थान हों: $${}^{n}\Pi_{r} = 5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125$$ यानी 5 वस्तुओं में से दोहराव की अनुमति के साथ लंबाई-3 के 125 क्रमबद्ध अनुक्रम बनते हैं। एक और उदाहरण: \(n = 2\), \(r = 10\) से \(2^{10} = 1024\) मिलता है, जो लंबाई-10 की बाइनरी स्ट्रिंग्स की कुल संख्या है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यह nPr से कैसे अलग है? बिना दोहराव वाले सामान्य क्रमचय में \({}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}\) का उपयोग होता है, जहाँ हर वस्तु अधिकतम एक बार इस्तेमाल होती है। यह टूल दोहराव की अनुमति देता है, इसलिए यह \(n^{r}\) का उपयोग करता है।
अगर r = 0 हो तो? \({}^{n}\Pi_{0} = n^{0} = 1\), यानी केवल एक खाली व्यवस्था। मानक संयोजन-गणितीय परंपरा के अनुसार यहाँ \(0^{0} = 1\) भी माना जाता है।
अगर n = 0 और r ≥ 1 हो तो? परिणाम 0 होता है, क्योंकि खाली वस्तु-समूह से कोई भी स्थान नहीं भरा जा सकता।
