Chỉnh hợp lặp là gì?
Chỉnh hợp lặp cho biết có bao nhiêu cách lấp đầy r vị trí có thứ tự bằng cách chọn từ n phần tử khác nhau, trong đó mỗi phần tử có thể được dùng nhiều lần. Ký hiệu là \({}^{n}\Pi_{r}\). Vì thứ tự có vai trò quan trọng và cho phép lặp lại, nên mỗi vị trí là một lựa chọn độc lập trong cả n phần tử. Đây là kiến thức toán học thuần túy và áp dụng giống nhau ở mọi nơi.
Công thức
Tổng số cách sắp xếp đơn giản là n lũy thừa r:
$$ {}^{n}\Pi_{r} = \text{n}^{\,\text{r}} $$
Điều này suy ra từ quy tắc nhân: vị trí thứ nhất có n lựa chọn, vị trí thứ hai cũng có n lựa chọn (vì cho phép lặp), và cứ thế cho cả r vị trí, ta được \(n \times n \times \ldots \times n = n^{r}\).
Cách dùng máy tính
Nhập n là số phần tử khác nhau có sẵn, và r là số vị trí cần lấp đầy (độ dài của mỗi dãy có thứ tự). Cả hai phải là số nguyên không âm. Vì cho phép lặp lại nên r có thể lớn hơn n. Máy tính trả về số nguyên chính xác bằng phép tính độ chính xác tùy ý, nên ngay cả những kết quả cực lớn cũng được hiển thị chính xác.
Ví dụ minh họa
Với n = 5 phần tử khác nhau và r = 3 vị trí: $$ {}^{n}\Pi_{r} = 5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125 $$ Vậy có 125 dãy có thứ tự độ dài 3 lấy từ 5 phần tử và cho phép lặp lại. Một ví dụ khác: n = 2, r = 10 cho ra \(2^{10} = 1024\), chính là số chuỗi nhị phân độ dài 10.
Câu hỏi thường gặp
Nó khác gì với nPr? Chỉnh hợp thông thường (không lặp) dùng công thức \({}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}\), trong đó mỗi phần tử được dùng tối đa một lần. Công cụ này cho phép lặp, nên dùng \(n^{r}\).
Nếu r = 0 thì sao? \({}^{n}\Pi_{0} = n^{0} = 1\), tức là chỉ có một cách sắp xếp rỗng duy nhất. Theo quy ước tổ hợp chuẩn, ở đây ngay cả \(0^{0} = 1\).
Nếu n = 0 và r ≥ 1 thì sao? Kết quả là 0, vì không thể lấp đầy vị trí nào từ một tập rỗng.
