Công cụ này làm gì?
Công cụ này tính hai đại lượng nền tảng trong toán tổ hợp: chỉnh hợp (nPr) và tổ hợp (nCr). Bạn chỉ cần nhập tổng số phần tử phân biệt, n, và số phần tử bạn muốn chọn hoặc sắp xếp, r. Máy tính sẽ cho biết có bao nhiêu kết quả khác nhau trong từng trường hợp. Chỉnh hợp đếm các cách sắp xếp mà thứ tự có quan trọng, còn tổ hợp đếm các cách chọn mà thứ tự không quan trọng.
Cách sử dụng
Nhập tổng số phần tử (n) và số phần tử cần chọn (r), sau đó xem kết quả. Ô kết quả chính hiển thị số chỉnh hợp, còn bảng bên dưới hiển thị số tổ hợp. Lưu ý rằng r phải nhỏ hơn hoặc bằng n; nếu r lớn hơn n thì không có cách chọn nào, nên kết quả sẽ là 0.
Giải thích công thức
Cả hai công thức đều dựa trên hàm giai thừa, với \(n! = n \times (n-1) \times \ldots \times 2 \times 1\), và quy ước \(0! = 1\). Công thức chỉnh hợp $$P(n,r) = \frac{n!}{\left(n - r\right)!}$$ loại bỏ các cách sắp xếp của những phần tử bạn không chọn. Công thức tổ hợp $$C(n,r) = \frac{n!}{r! \left(n - r\right)!}$$ chia thêm cho \(r!\) để bỏ đi các cách sắp xếp trùng lặp của những phần tử đã chọn, vì thứ tự không còn quan trọng nữa.
Ví dụ minh họa
Giả sử bạn có 5 cuốn sách và muốn biết có bao nhiêu cách xếp chúng vào 3 vị trí trên kệ. Chỉnh hợp: $$\frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = \mathbf{60}$$ cách sắp xếp có thứ tự. Nếu bạn chỉ quan tâm chọn ra 3 cuốn nào (không quan tâm thứ tự), tổ hợp: $$\frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = \mathbf{10}$$ cách chọn.
Câu hỏi thường gặp
Khi nào dùng chỉnh hợp, khi nào dùng tổ hợp? Dùng chỉnh hợp khi thứ tự quan trọng (mật khẩu, thứ hạng về đích, sắp xếp chỗ ngồi), và dùng tổ hợp khi thứ tự không quan trọng (chọn số xổ số, lập ban đại diện, chọn topping).
Vì sao nCr luôn nhỏ hơn hoặc bằng nPr? Mỗi tổ hợp tương ứng với \(r!\) chỉnh hợp, nên số tổ hợp chính bằng số chỉnh hợp chia cho \(r!\).
Với n rất lớn thì sao? Giai thừa tăng cực kỳ nhanh. Máy tính này xử lý được các giá trị lên tới khoảng \(n = 170\) trước khi vượt quá giới hạn của số thực dấu phẩy động độ chính xác kép tiêu chuẩn.
