Công Cụ Này Làm Gì
Máy Tính Tổ Hợp Lặp giúp bạn đếm số cách chọn r phần tử từ n loại khác nhau khi được phép lặp lại và không quan tâm đến thứ tự lựa chọn. Đây là một công thức nền tảng trong tổ hợp và xác suất, thường được gọi là bài toán "chia kẹo Euler" hay phương pháp "ngôi sao và vách ngăn" (stars and bars). Vì mỗi loại có thể được chọn nhiều lần nên kết quả luôn lớn hơn so với tổ hợp thông thường không lặp.
Các Giá Trị Bạn Cần Nhập
- Tổng số loại phần tử (n): số nhóm khác nhau mà bạn có thể chọn — ví dụ 3 vị kem.
- Số phần tử cần chọn (r): tổng số lần bạn chọn, trong đó cùng một loại có thể được chọn lặp lại nhiều lần.
Hãy nhập cả hai giá trị dưới dạng số nguyên, và máy tính sẽ lập tức trả về một kết quả duy nhất: số bội tổ hợp (multiset) khác nhau — tức các cách chọn không xét thứ tự nhưng cho phép lặp.
Công Thức
Công cụ áp dụng công thức tổ hợp lặp chuẩn:
$$C^{R}(n,r) = \frac{(\text{n} + \text{r} - 1)!}{\text{r}!\,(\text{n} - 1)!}$$
Bên trong, máy tính tính ba giai thừa — \((n + r - 1)!\), \(r!\) và \((n - 1)!\) — rồi chia theo công thức trên. Vì sử dụng giai thừa chính xác với phép tính trên số nguyên, kết quả là một số nguyên chính xác chứ không phải giá trị xấp xỉ.
Ví Dụ Minh Họa
Giả sử một quán kem có n = 3 vị và bạn muốn một ly gồm r = 2 viên kem, trong đó được phép chọn trùng vị. Thay n = 3 và r = 2 vào công thức:
- \(n + r - 1 = 3 + 2 - 1 = 4\)
- $$C(4, 2) = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = \mathbf{6}$$
Vậy có 6 cách tạo ly kem hai viên: AA, BB, CC, AB, AC và BC. Máy tính trả về 6 ngay lập tức.
Câu Hỏi Thường Gặp
Cách này khác gì so với tổ hợp thông thường? Tổ hợp thường, \(C(n, r)\), không cho phép lặp — mỗi phần tử chỉ được chọn tối đa một lần. Tổ hợp lặp cho phép chọn cùng một loại nhiều lần, vì vậy ta chuyển sang công thức \(C(n + r - 1, r)\).
Thứ tự có quan trọng không? Không. AB và BA được tính là cùng một cách chọn. Nếu thứ tự có ý nghĩa, bạn sẽ phải dùng chỉnh hợp (hoán vị) thay vì tổ hợp.
r có thể lớn hơn n không? Có. Vì được phép lặp lại nên bạn hoàn toàn có thể chọn nhiều phần tử hơn số loại hiện có — ví dụ chọn 5 viên kem từ 3 vị là hợp lệ và cho ra kết quả lớn hơn.
