Bu Hesaplayıcı Ne İşe Yarar?
Tekrarlı Kombinasyon Hesaplayıcısı, n farklı türden r öğeyi seçerken tekrara izin verildiğinde ve seçim sırasının önemli olmadığı durumlarda kaç farklı seçim yapabileceğinizi sayar. Bu, kombinatorik ve olasılığın temel formüllerinden biridir ve genellikle "yıldızlar ve çubuklar" (stars and bars) problemi olarak adlandırılır. Her tür birden fazla kez seçilebildiği için, sonuç tekrarsız sıradan kombinasyonlardan daha büyük çıkar.
Girmeniz Gereken Değerler
- Toplam öğe türü sayısı (n): seçim yapabileceğiniz farklı kategori sayısı — örneğin 3 farklı dondurma çeşidi.
- Seçilecek öğe sayısı (r): toplamda kaç seçim yaptığınız; aynı tür birden fazla kez seçilebilir.
Her iki değeri de tam sayı olarak girin; hesaplayıcı anında tek bir sonuç döndürür: farklı çoklu kümelerin (tekrara izin veren sırasız seçimlerin) sayısı.
Formül
Araç, standart tekrarlı kombinasyon denklemini uygular:
$$C^{R}(n,r) = \frac{(n + r - 1)!}{r!\,(n - 1)!}$$Hesaplama arka planda üç faktöriyel hesaplar — \((n + r - 1)!\), \(r!\) ve \((n - 1)!\) — ardından yukarıda gösterildiği gibi böler. Tam sayı aritmetiğiyle kesin faktöriyeller kullanıldığından, sonuç yaklaşık bir değer değil, kesin bir tam sayıdır.
Çözümlü Örnek
Diyelim ki bir dondurmacıda n = 3 çeşit var ve aynı çeşidi tekrarlayabileceğiniz r = 2 toplu bir külah istiyorsunuz. n = 3 ve r = 2 değerlerini yerine koyun:
- \(n + r - 1 = 3 + 2 - 1 = 4\)
- $$C(4, 2) = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = \mathbf{6}$$
Yani iki toplu külah için 6 olası seçim vardır: AA, BB, CC, AB, AC ve BC. Hesaplayıcı anında 6 sonucunu verir.
Sıkça Sorulan Sorular
Bunun normal kombinasyondan farkı nedir? Sıradan kombinasyonlar, \(C(n, r)\), tekrara izin vermez — her öğe en fazla bir kez seçilir. Tekrarlı kombinasyonlar ise aynı türün birden fazla kez seçilmesine olanak tanır; bu yüzden \(C(n + r - 1, r)\) formülüne geçeriz.
Burada sıra önemli mi? Hayır. AB ve BA aynı seçim olarak sayılır. Sıranın önemli olduğu durumlarda bunun yerine permütasyon kullanırsınız.
r, n'den büyük olabilir mi? Evet. Tekrara izin verildiği için, tür sayısından daha fazla öğe seçebilirsiniz — örneğin 3 çeşitten 5 top dondurma seçmek tamamen geçerlidir ve daha büyük bir sonuç verir.
