Tekrarlı Permütasyon Hesaplama Aracı

Hesaplamaya Girin

n (nesneler)

r (örnek)

For n ≥ 0 and r ≥ 0 (integers). Each of the n objects can be chosen repeatedly and order matters.

Formül

Show calculation steps (1)

1. Empty sequence (r = 0)

   

   There is exactly one ordered sequence of length zero, by convention, for any n (including 0^0 = 1).

Sonuç

Permutations with Replacement P^R(n, r)

16

sıralı dizi

n (nesneler)	4
r (örnek)	2
Formül	nr

Tekrarlı permütasyon nedir?

Tekrarlı permütasyon, n farklı nesneden oluşan bir kümeden, (1) öğelerin sıralamasının önemli olduğu ve (2) her nesnenin birden fazla kez seçilebildiği durumda oluşturabileceğiniz r uzunluğundaki sıralı dizilerin sayısını verir. Bunu n harften oluşan bir alfabe gibi düşünün: r uzunluğundaki tekrarlı bir permütasyon, bu alfabeyle yazabileceğiniz r harfli herhangi bir "kelime"dir. Bu hesaplama aracı söz konusu sayıyı $$P^{R}(n, r) = n^{r}$$ formülüyle hesaplar.

Yerine koymalı seçimde, seçilenler havuza geri konduğu için sıralı her konum bağımsız olarak n öğeden herhangi biri olabilir.

Hesaplama aracı nasıl kullanılır?

Elinizdeki farklı nesne sayısını (yani topluluğu) belirten n değerini ve oluşturmak istediğiniz sıralı örneğin uzunluğunu belirten r değerini girin. Her ikisi de negatif olmayan tam sayı olmalıdır. Hesapla düğmesine bastığınızda olası tüm sıralı dizilerin toplam sayısını elde edersiniz. Sonuç üssel olarak hızla büyüdüğü için çok büyük değerler bilimsel gösterimle verilir.

Formülün açıklaması

Dizideki r konumun her biri birbirinden bağımsız olarak doldurulur ve tekrara izin verildiği için her konuma n değerden herhangi biri gelebilir. Çarpma ilkesine göre toplam sonuç, r adet çarpandan oluşan \(n \times n \times \ldots \times n\) çarpımıdır; bu da \(n^{r}\)'ye eşittir. Bu durum, her nesnenin en fazla bir kez kullanılabildiği tekrarsız permütasyon olan \(P(n, r) = n! / (n - r)!\) formülünden farklıdır.

Reklam

r konumun her biri bağımsız olarak n seçenek sunar, yani toplam n'nin kendisiyle r kez çarpımıdır: n^r.

Örnek üzerinden çözüm

{a, b, c, d} alfabesini ele alalım; burada n = 4'tür. r = 2 uzunluğunda kaç tane sıralı ikili oluşturulabilir? $$P^{R}(4, 2) = 4^{2} = 16$$ aa, ab, ac, ad, ba, bb, ... , dd. Daha uzun bir dizi için ise $$P^{R}(4, 20) = 4^{20} = 1{.}099{.}511{.}627{.}776 \approx 1{,}0995 \times 10^{12}.$$

Sıkça Sorulan Sorular

r = 0 olduğunda ne olur? Herhangi bir n için \(n^{0} = 1\)'dir; yani tam olarak bir tane boş dizi vardır. Bu hesaplama aracı, yaygın kabule uygun olarak \(0^{0}\) değerini de 1 olarak alır.

n = 0 ve r > 0 ise ne olur? \(0^{r} = 0\)'dır: seçilecek hiçbir nesne yoksa boş olmayan hiçbir dizi oluşturulamaz.

Bunu kombinasyon yerine ne zaman kullanmalıyım? Sıralamanın önemli olduğu ve tekrara izin verilen durumlarda (PIN kodları, zar atışı dizileri veya karakter dizileri gibi) tekrarlı permütasyon kullanın. Sıralamanın önemli olmadığı durumlarda ise kombinasyon kullanın.