Calculadora de permutaciones con repetición

Ingresar cálculo

n (objetos)

r (muestra)

For n ≥ 0 and r ≥ 0 (integers). Each of the n objects can be chosen repeatedly and order matters.

Fórmula

Show calculation steps (1)

1. Empty sequence (r = 0)

   

   There is exactly one ordered sequence of length zero, by convention, for any n (including 0^0 = 1).

Resultados

Permutations with Replacement P^R(n, r)

16

secuencias ordenadas

n (objetos)	4
r (muestra)	2
Fórmula	nr

¿Qué es una permutación con repetición?

Una permutación con repetición cuenta el número de secuencias ordenadas de longitud r que puedes formar a partir de un conjunto de n objetos distintos cuando (1) el orden de los elementos importa y (2) cada objeto puede elegirse más de una vez. Imagina un alfabeto de n letras: una permutación con repetición de longitud r es simplemente cualquier «palabra» de longitud r que puedas escribir con ese alfabeto. Esta calculadora devuelve ese recuento mediante la fórmula \(P^{R}(n, r) = n^{r}\).

Con reemplazo, cada posición ordenada puede ser de forma independiente cualquiera de los n elementos, ya que las extracciones se devuelven al conjunto.

Cómo usar la calculadora

Introduce n, el número de objetos distintos disponibles (la población), y r, la longitud de la muestra ordenada que quieres formar. Ambos deben ser números enteros no negativos. Pulsa calcular y obtendrás el número total de secuencias ordenadas posibles. Como el resultado crece de forma exponencial, las cifras muy grandes se muestran en notación científica.

La fórmula explicada

Cada una de las r posiciones de la secuencia se rellena de forma independiente y, como se permite la repetición, cada posición puede tomar cualquiera de los n valores. Por el principio de multiplicación, el total es \(n \times n \times ... \times n\) con r factores, lo que equivale a \(n^{r}\). Esto se diferencia de las permutaciones sin repetición, \(P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}\), donde cada objeto puede usarse como máximo una vez.

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Cada una de las r posiciones ofrece de forma independiente n opciones, así que el total es n multiplicado por sí mismo r veces: \(n^r\).

Ejemplo resuelto

Con el alfabeto {a, b, c, d} tenemos n = 4. ¿Cuántos pares ordenados de longitud r = 2 existen?

$$P^{R}(4, 2) = 4^{2} = 16$$

aa, ab, ac, ad, ba, bb, ... , dd. Para una cadena más larga,

$$P^{R}(4, 20) = 4^{20} = 1.099.511.627.776 \approx 1{,}0995 \times 10^{12}.$$

Preguntas frecuentes

¿Qué ocurre cuando r = 0? \(n^{0} = 1\) para cualquier n: existe exactamente una secuencia vacía. Por convención, esta calculadora también considera \(0^{0}\) como 1.

¿Y si n = 0 y r > 0? \(0^{r} = 0\): sin objetos entre los que elegir, no hay ninguna secuencia no vacía.

¿Cuándo conviene usar esto en lugar de combinaciones? Usa las permutaciones con repetición cuando el orden importa y se permiten repeticiones, como en códigos PIN, secuencias de tiradas de dados o cadenas de caracteres. Usa las combinaciones cuando el orden no importa.